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  1. 2010.02.09 2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization) 3
  2. 2010.02.09 시각의 차이 2
  3. 2010.02.08 홍대 인디음악
  4. 2010.01.22 리만 가설(1) 6
  5. 2010.01.18 통계역학에서 유용한 적분 팁 4
  6. 2010.01.09 burstiness 4
  7. 2010.01.05 윤하 Growing Season 6
  8. 2010.01.02 알랭 드 보통의 "왜 나는 너를 사랑 하는가?"
  9. 2009.12.17 diary 12/17 2
  10. 2009.12.03 복잡계 컨퍼런스
물리2010. 2. 9. 15:43

2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization)

이 글은 Dung-Hai Lee 교수의 critical phenomena라는 책(?), 강의노트(?)를 기반으로 스터디한 글입니다.

고수님들 틀린 부분있으면 확실하게 지적해주시기 바랍니다. ('-')/

2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization)

1장의 내용은 실험적 내용들이니 생략하고 바로 2장의 내용들로 글을 써보려고 합니다. 간간히 잘 모르겠는 1장 내용들을 써드릴테니 웬만하면 이해가 되실것입니다. 우선은 헤밀토니안을 살펴보죠. (헤밀토니안을 대체할 한국말이 떠오르지 않네요. 에너지 연산자(?)쯤 될까요?)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j

이런 형태는 외부 자기장이 없는 상태입니다. (no external magnetization)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

대부분 이런형태는 외부 자기장이 있는 경우죠. (external magnetization)

여기서 평균장 이론을 적용한 새로운 헤밀토니안을 정의해 보도록 하죠. 그런데 

\mathcal{H}=-\frac{J}{2}\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지. 

\mathcal{H}=-J\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지 조금 헤깔립니다. 정확하게 따지자면 전자가 확실히 맞는데 아무튼 후자로 나가 보도록 하죠.

\mathcal{H}=-J\sum_i\sum_j C_{i j} S_i S_j - h\sum_{i}S_i

\mathcal{H}=-\sum_i \left( J\sum_j C_{i j}S_j + h \right) S_i

여기서 괄호안의 값을 새로운 외부자기장(external magnetic field)이라고 이야기 해봄니다. 

그리고 그 외부 자기장에 스핀이 영향을 미치는 부분을 평균값으로 정리해 줍니다. (이 부분이 평균장정리 개념으로 들어갑니다.)

평균값으로 정리하면 계의 요동(fluctuation)에 해당하는 부분은 줄어듭니다. 차원(dimension)이 늘어나면 평균장 이론(mean-field theory)는 더 실제 모델과 가까워 집니다. 한개의 격자 자리(lattices point)에서 따져보면 차원이 늘어날수록 많은 스핀들이 영향을 주기 때문입니다. 

h_{eff,i}=h+J\sum_j C_{ij} <S_i>

외부 자기장이 균일한 경우에는 조금더 간단한 형태로 바꿀수가 있게 됨니다. 스핀의 기대값이 자리마다 즉 각각의 i 마다 다를게 없게 됨니다. 여기서 C_{ij}는 i와 j가 서로 이웃해 있으면 1 그게 아니면 0인 계수 입니다.

스핀의 기대값을 구해봅시다. 일종에 자화(magnetization)를 측정하는건데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}

아시는 분은 아시다 시피 이것은 분배함수(partition function) 인데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}} } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}} = \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{\beta\sum_{i}h_{eff,i}S_i } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta \sum_{i}h_{eff,i}S_i}}

이렇게 되겠죠? 앞의 합 기호들은 스핀의 up, down을 나타내는 표시고 안쪽에 합기호를 곱로 바꾸어서 아래로 내려줌니다.

= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_1S_2S_3\ldots S_N e^{\beta h_{eff,1}S_1 } e^{\beta h_{eff,2}S_2 } e^{\beta h_{eff,3}S_3} \ldots e^{\beta h_{eff,N}S_N } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,1}} e^{\beta h_{eff,2}} e^{\beta h_{eff,3}} \ldots e^{\beta h_{eff,N}}}

아.. 점점 정신이 혼미해지네요..

= \frac {\sum_{S_1}S_1 e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2}S_2 e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N}S_N e^{\beta h_{eff,N}S_N }} {\sum_{S_1} e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2} e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,N}S_N }}

= \frac{ \left(e^{\beta h_{eff,1}} - e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} - e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} - e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} - e^{-\beta h_{eff,N} } \right) } {\left(e^{\beta h_{eff,1}} + e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} + e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} + e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} + e^{-\beta h_{eff,N} } \right) }

up상태와 down상태 밖에 없으므로 

= \prod_i \frac { e^{\beta h_{eff,i}} - e^{-\beta h_{eff,i}} } { e^{\beta h_{eff,i}} + e^{-\beta h_{eff,i}}}

= \prod_i \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right)

= \left[ \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right) \right]^N (이렇게 쓰느것도 각각의 i가 다른것을 가만할때 좀 이상한거 같기도 하네요.)

약간 이상한데요. 이게 어떻게 보면 S의 모든 합인거 처럼 보이네요.  실제로 책에는 \prod_i 기호가 없습니다.. 정확한 이유는 모르겠지만 아무튼 여기까지 왓습니다.

처음에 넣었던 값을 다시 넣으면

= \tanh\beta\left(h+J\sum_j C_{ij} <S_j>\right)

전에 이야기 했듯이 C란 수는  i 와 j가 바로 옆일때만 1인 값이므로 격자에서 1차원의 경우에는 2개가 남고 2차원인 경우 4개, 3차원인 경우에는 6개가 1인 수가 되겠죠? 그래서 차원에 따라 저 값을 z로 놓습니다. z=2d (d=차원(dimension))

<S>=\tanh\beta\left(h+Jz<S>\right)

우선 h=0인 부분에서 고민을 해보도록 하죠. 

여기서  <S>=x  치환을 해보죠. 

y=x 과 y=\tanh\beta(Jzx) 의 교점을 찻아 보면은 \beta Jz <1  일때는 x=0인 지점에서만 만나고 \beta Jz >1  인 경우에는 세점에서 만나는것을 볼수 있습니다. 

세점에서 만난다는 것은 저 함수를 기술할수 있는 <S> 값이 존재 한다는 것이죠.

한점에서만 만나는 경우는 자연적은 <S>값이 없다는 것이고 <S>=0이라는 것이죠. 즉  상자성(para magnetization)입니다.

세점에서 만나는경우는 <S>=\pm m_0인 값이 존재한다는 것이고 이것은 강자성(ferro magnetization)이 되는 것입니다. 

그렇다면 \beta Jz =1  일때가 어떤 임계점(critical point)이라고 이야기 할수 있네요.

\frac{Jz}{k_B T_c} =1

여기서 임계 온도(critical temperature)를 정의 합니다. 

T_c \equiv \frac{Jz}{k_B}

우선 이번 장은 여기 까지네요. 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

저작자표시 비영리 동일조건
Posted by blindfish
일상/일기2010. 2. 9. 01:01

시각의 차이

사람들은 종종 자신의 모습을 모를때가 있습니다. 한걸음 물러서서 나와 비슷한 다른 사람의 모습을 보고 나서야 자신의 모습을 알게 되죠. 가장 사랑해야할 사람은 자기 자신입니다. 
예전에 봤던 동영상인데 다시보니 이승기의 모습과 그렇게 까진 아니지만 조금은 닮아 있었다. 그렇게 슬픔과 고통을 참아내지 못하고 흥청 망청.. 비틀비틀 살던 시간들을 말이다. 그렇게.. 될대로 되라는 식으로 능력없는 자기 자신에게 화내면서 말이다.. 
지난 시간들의 행복하지 못한 사랑 받지 못한 경험들이 만드는 사랑에 대한 원초적인 불신들이 처음부터 정상적인 주고 받고 싶어 하는 마음을 막아버리고 만다... 그래.. 처음부터 기대조차 하지 않아버리는거였다.. 그리고 나서 깨닮은건..
나란 놈.. 참.. 불쌍하구나.. 
라는 것이다.. 참.. 불쌍하다.. 그래서 이제 머리로 생각해서 말도 안되는 생각은 하지말고..
나를 사랑하면서 
똑바로 세상을 바라보면서..
살자는 것이다.. 
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Posted by blindfish
음악2010. 2. 8. 15:04

홍대 인디음악

잠이 안와서 유투브를 방황하다가 우연히 한희정의 라이브를 들었습니다. 몇번 들어서 알고 있었지만 요조나 한희정이나 인디의 느낌이 비슷하다는 생각이 드네요. 



정말 아름다운 외모도 외모지만. 저런 자유로우면서 사근사근한 목소리가 어느날 부터인가 더 끌리게 되더라구요. 
다른건 아니고 저런 느낌이랄까요..
홍대의 열짱 가수 요조 타루 연진 뎁 + 한희정 
요조는 많이 유명하고 한희정도 좀 유명하죠. 타루는 더 멜로디란 그룹에서 있었네요. 연진은 사진을 잘 안찍는걸로 알려져선지. 자료가 많이 없죠. 라이더스의 담요 라는 그룹에서 있었던 경력이 있었습니다. 보면 약간 연진과 뎁이 요조 타루 한희정과는 스타일이 다르게 느껴지기도 합니다. 

얼마전에 물고기란 카폐를 서성이다기. 저 장면의 장소가 그 앞인걸 알게 됬습니다. 

연애는 어떻게 하는거였을까요. 어떻게 하던 걸까요. 고민해봅니다. 
아.. 잠도 안오고 포스팅도 이상하고 이상한 밤입니다. 


저작자표시
Posted by blindfish
일상/일기2010. 1. 22. 21:03

리만 가설(1)

요즘 연구실에 일구형의 추천으로 리만가설이라는 책을 보고 있습니다. 원래 수학엔 좀 문외한인데다가 물리외에 웬만하면 수학을 공부하지 말자는 주의 였는데 위상기하학(topology)라는 말을 귀에 박히도록 듣게면서 부터 이거 정말 모르고는 안돼겠다는 생각이 들었습니다. 그래서 앞으로 이 리만 가설이란 책을 바탕으로 해서 물리학을 공부하는 학부생이나 공대생들이 보았을 경우에 무리없이 이해 될만한 내용으로 리만가설 이야기를 해보려고 합니다. 혹시 지나가는 수학과 학생이나 교수님들은 틀린부분이 있으면 좋은 지적 해주시면 감사하겠습니다. 

 

리만 가설

제타 함수 \zeta function의 자명하지 않은(non-trivial) 모든 근들(zeros)은 실수부가  \frac{1}{2} 이다. 

 

리만 제타 함수 

\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\ldots

\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}

 

우선 처음 부분에는 급수이야기와 급수의 합에 대한 이야기가 많이 나오는데요. 대부분은 조화급수, 교대급수 같은것들은 모두 아시리라 생각하고 그냥 넘어 가겠습니다. 

아시다 시피 조화급수는

\left( 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \ldots \right)

발산하고 이를 제외한 웬만한 감소하는 급수들은 수렴한다는것이 많이 알려져 있습니다. (예: 교대급수)
우선 소수에 관한 이야기를 먼저 해야하는데요. 소수라고 하면 모두들 알고 계시듯이 1과 자기자신을 제외한 어떤수로 나누어도 나누어 떨어지지 않는 수를 의미 합니다. 소수의 가장큰 문제는 소수를 명확하게 기술할만한 뚜렷한 규칙이 없다는 것인데요. 우선은 소수의 갯수부터 확인해 보죠. 

N N보다 작은 소수의 갯수
1,000 168                                                                                       
1000,000 78,498
1,000,000,000 50,847,534
1,000,000,000,000 37,607,912,018
1,000,000,000,000,000 29,844,570,422,669
1,000,000,000,000,000,000 24,739,954,287,740,860

 

이런 식으 되네요. 딱봐도 여전히 전혀.. 규칙을 찻을 수가 없습니다. 일단은 이런 관계의 함수 \pi(N)을 정의 해 보도록 하죠.

\pi(N)=N보다 작은 소수의 개수 라고 합니다. 이를 소수 계랑 함수(Prime Counting Function)이라고 부릅니다. 

여기서 \frac{N}{\pi(N)} 이런 값을 생각해 보도록 해봅시다. 이 값을 나열 해보면 대락 사이즈가 커짐에 따라 일정한 증가폭을 가지고 있는데요. 

N N/\pi(N)
1,000 5.9526                                                                                 
1,000,000 12.7393
1,000,000,000 19.6666
1,000,000,000,000 26.5901
1,000,000,000,000,000 33.5069
1,000,000,000,000,000,000 40.4204

 

N이 커질수록 약 6.7에서 7 간격으로 점점 커지는 것을 확인 할수 있습니다. 이것만 해도 상당히 흥미로운 결과인데요. 그래도 완전히 막막하던 차에 어느정도 뭐가뭔지 알수 있게 되었네요. 그런데 딱보면 물리학이나 수학을 하는 사람이라면 이런 수의 증가가 어떤것하고 상당히 닮아 있다는것을 알수 있습니다. 예.. 로그함수와 닮아 있죠. N이 매우 클때 

\frac{N}{\pi(N)}\sim \ln{N}

라는 것을 알수 있습니다. 

\pi(N) \sim \frac{N}{\ln{N}}

결국 N이 상당히 클때 소수의 갯수는 위와 같을 것이라는 결론을 낼수 있는데요. 

다시 리만 제타 함수를 봐보도록 하죠.

\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\ldots

우선 여기서 양변에 \frac{1}{2^s} 을 곱해보도록 하죠.  

\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}++\frac{1}{8^s}+\ldots

여기서 위식에서 아래식을 빼줌니다.

\zeta\left(s\right)-\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\ldots

 

다시 리만 제타 함수에 \frac{1}{3^s}을 양변에 곱해주고 바로위의 \left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta\left(s\right) 에다가 빼주면서 또  2와 3의 공배수인 6으로된  \frac{1}{6^s}를 리만 제타 함수에서 곱해주고 다시 위식에서 빼주면

\zeta\left(s\right)-\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)-\frac{1}{3^s}\zeta\left(s\right)-\frac{1}{6^s}\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\zeta\left(s\right) =1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\ldots

소수들의 s승을 계속 곱하면서 빼나가면 이런식으로 계속 묶을수가 있고 아래와 같이 정리 할수 있을것입니다. 

\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\ldots \zeta\left(s\right)=1

우리가 알고 싶은건 제타 함수이므로 제타함수를 남기고 나머지를 우변으로 이항 시킵니다. 

\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1-\frac{1}{3^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{5^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{7^s}\right)^{-1}\ldots

분수는 보기가 힘드니 -1승으로 처리 했습니다. 저기 s들도 분수로 있으니 더 간편하게 보이게 해보죠.

\zeta\left(s\right)=\left(1-2^{-s}\right)^{-1} \left(1-3^{-s}\right)^{-1}\left(1-5^{-s}\right)^{-1}\left(1-7^{-s}\right)^{-1}\ldots

한층 보기가 편해 졌네요.  더 간단한 형태로 만들기 위해서 \prod라는 기호를 사용할것입니다. 이것은 아시다 시피 \sum과 비슷한 기호인데 덧셈대신 곱셈을 나타내주는 기호 입니다.

\zeta\left(s\right)=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

여기서 p는 2부터 무한대까지의 모든 소수를 의미합니다. 

\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

위의 식을 다시 상기해 보면 위와 같은 식이 탄생하게 되는데요. 리만 제타 함수가 위와 같은 두가지 형태로 기술되게 됨니다. 리만 가설이란 책에서는 이 식을 황금열쇠라고 부르더군요.

 

황금 열쇠(Golden Key)

\sum_{n}{n^{-s}}=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

n은 모든 정수를 의미하고 p는 모든 소수를 의미 합니다.

 

휴... 여기가지 정리 했네요.. 오늘은 여기까지만 하고 다음에 또 더 써보도록 하겠습니다. 

 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
물리2010. 1. 18. 18:00

통계역학에서 유용한 적분 팁

 학부 통계 역학을 공부하다 보면 아래와 같은 적분을 만나게 됨니다. 아마 에너지 등분배 원리 쯤이었던거 같은데..(맞나요?)
\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=?

여기서 주로 x=\frac{\hbar\omega}{k_B T} 이런식으로 치환해서 푸는 경우가 많죠.

\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}\right)dx}  [1]   

 

으로 식을 바꾸어 줍니다. 우선은 괄호안의 부분을 처리 할건데요.

\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+r^4+\ldots

이런 수열을 중고등학교때 등차수열이란 것을 배우면서 이런 식이 있다는걸 배웠죠? 이 식을 이용해서 r=e^{-x} 이라고 생각하고 풀면

\frac{1}{1-e^{-x}}=1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots

처음엔 왜 저렇게 오히려 번잡한 꼴로 바꾸나 싶지만 저기가 이 적분을 푸는 키 포인트 입니다. 이 부분을 처음 [1]식에 대입 합니다.

\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} \left(1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots \right)dx}

조금 번잡해 졌지만 이걸 다시 변형해 줍니다

=\int_{0}^{\infty}{x^2 \left(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots\right)dx}
=\int_{0}^{\infty}{x^2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-nx}}dx}

=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-nx}}dx}

적분하기 좋은 형태로 바뀌었네요. 이걸 다시 부분 적분을 합니다.

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{1}{n} x^2 e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2x}{n} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{2x}{n^2} e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2}{n^2} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3} \left[-e^{-nx} \right]_{0}^{\infty} }=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3}}=2\zeta\left(3\right)

 

네.. 결과 값은 리만 제타 함수로 나오네요. 아쉽게도 아직도 리만제타함수 3은 정확한 (수학적으로 닫힌)값이 존재 하지 않습니다.

그냥 대수적은 값일 뿐이죠. 아래 덧붙인 글은 전에 이것을 기고했을때 글입니다. 지금 보니까 틀린부분도 조금 있었네요.

물리에서 자주 나오는 적분식 입니다. 주로 통계역학에서 광자의 에너지 분포나 혹은 흑체복사이론에서 진동수에 따른 에너지 분포를 적분할때 나오는 적분인데요..; 이게 알고 보면 참 쉽죠? 고등학교 수학정도면 충분히 풀수 있는데 어려운 감마 function 같은거 쓸필요가 없습니다. 제가 처음 이 적분을 만났을때는 푸는 방법을 정말 몰라서.. 어떻게 할까 하다가 결국 컴퓨터로 numerical하게 계산했던거 생각이 나네요. 

물런 그렇게하면 정답에 근사적으로 다가갈수 있지만 신뢰할만한 것은 아니에요.. 아시다시피 무한이란게 컴퓨터로 구현하기가 어렵죠..^^;;

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
물리2010. 1. 9. 22:20

burstiness

정말 오랜만에 물리학에 관한 글을 올리는거 같습니다. 매일 seldon님의 글만 눈팅하다가.. 이래선 안되겠다는 마음으로 부족하지만 조금이라도 글을 써보려고 노력중입니다. 아직 seldon님의 글을 다 꼼꼼하게 읽지도 않았고.. 제대로 이해도 못해서 마음잡고 읽어봐야겠습니다. 우선 이번에 제가 이야기 하고 싶은 것은 특정 시계열에서 어떤 사건이 일어날때입니다. 예를 들어서 지진이 발생한다고 하면 어떤땐 긴 잠복기를 가지고 있다가 어떤때 갑자기 연속적으로 자주 발생하죠. 비도 겨울이나 긴 기간동안 비가 오지 않다가 여름한철 장마나 어떤 시기에 몇번에 나뉘서 미친듯이 쏫아져 내릴때도 있습니다. 이러한 현상들을 burst라고 이야기 하는데요. 주로 이말은 별이 폭발 할때 많이 쓰는 표현이죠. 하지만 이런 때도 burst라는 말을 사용합니다. 여기서 각각의 사건들이 발생하는 시간 간격을 특정시간 \tau 라고 하고 이것들을 그래프를 그리면 그것들의 확률밀도 합수가 멱급수 합수를 따르게 됨니다. 

P \propto \tau^{-\alpha}

여기서 \alpha 값은 현상에 따라 다른데요. 이걸 보면 확실히 각각의 게시물들간의 상관 관계가 있다고 예측을 할수 있습니다. 

우선은 그래서 이 \tau들간의 어떤 관계들이 있는 보겟는데요. 논문에선 두가지 값을 가지고 우선 그것을 가늠합니다. 

첫번째로 Burstiness를 의미 하는 B(burstiness parameter)입니다. 

B\equiv \frac{\sigma_\tau - m_\tau}{\sigma_\tau + m_\tau}

여기서 \sigma_\tau 는 시간 간격들의 표준 편차이구요. m_\tau는 시간간격들의 평균입니다. 언뜻보면 이게 burstiness랑 무슨 상관이냐.. 싶기도 하죠. 

\sigma_\tau = m_\tau 일때는 그냥 중립적인 위치라고 하죠. 이때 B=0 입니다.

\sigma_\tau = 0 일때는 표준 편차가 0이니까 모든 값들이 한 값으로 되는 delta function 형태가 됩니다. 즉.. 모든 값이 한가지 값만을 가진게 되죠. 이것은 시간간격이 그렇다는 것이기 때문에 이 사건들은 상당히 주기적으로 나타납니다. 심작박동 같은 것들이 그렇다고 볼수 있죠.  이 때는  B=-1입니다. 

 \sigma_\tau \gg m_\tau 일때는 B=1이되고 burstiness가 존재하게 됩니다.......

실제로 시간간격에 대해서 그림을 그려가면서 해보면 확실하게 이해가 됨니다. 그림도 올려드리고 싶은데.. 논문에 있는것이라.. 혹시나 저작권 문제가 될까 걱정이되서 올리기가 꺼려지네요..ㅠ_ㅠ 혹시 아시는 분은 답변좀 달아주세요.

다음으로 기억효과라는 개념이 나옴니다. 

M= \frac{1}{n_\tau - 1} \sum_{i=0}^{n_\tau -1} \frac{(\tau_{i+1} - m_1)(\tau_i -m_2)}{\sigma_1 \sigma_2}

인접한 사건들의 상관관계를 알아 보는건데요. 보면 대충 표준편차의 표준편차를 구한다는 그런 느낌입니다. 여기서 1,2 로 구분해놨는데 실제로 자기자긴을 한다면 1이든 2든 같은걸로 쓰면 자기자신의 상관관계를 알수 있겠죠?(autocorrelation). 그렇게 하여 처음사건과 바로 다음에 일어나는 사건이 어떤 관계인지를 알수 있게 됨니다. 

이 두가지를 가지고 고광일 교수님과 바라바시의 논문에서는 현상을 분석했는데요. 우선 이 시간간격들을 가지고 그래프를 그려보면 재밋는 것들을 알수 있습니다. 가장 작은 시간을 앞으로 보내고 큰 시간들을 x축의 뒤쪽으로 보내면 어떤 감쇠함수형태를 가지는데요. 여기서 이 메일을 보내는 패턴은 멱급스함수, 특정단어들이 등장하는 글자간격으로 그리면 지수함수를 따르고 심장박동은 특정 한 시간간격에 집중되는 형태의 delta-function(딱히 한국말이 없네요.ㅠ_ㅠ)형태를 지니게 됨니다. 그 다음으로 이런 사건들의 B,M을 구해서 그래프를 그려보면 (M,B diagram 이라고 하는데 이름이 맘에 안듬니다..-_-) 재밋는 모여있는 형태들이 나옵니다.

 

우선 인간행동패턴, 여기서는 이메일은 보내는 패턴이나 휴대전화가입신청, 도서관에서 책을 빌리는 시간간격등을 계산해 보았는데요.  M=0인 결과를 볼수 있습니다. 기억효과가 거의 없는거죠. 바로 전 사건과 다음 사건은 아무런 연관이 없다는 것입니다. 그리고 몇몇 행동에서는 B가 상당히 큰 부분들이 있습니다. 그러니까 사건들이 몰아서 일어나는 경우가 있다는 이야기 입니다. 이에 비해 자연현상들은 어느정도 일차함수 방향으로 점이 찍히는데요. 일본에서 일어나는 지진이나 뉴멕시코주에 강수같은 경우에는 기억효과도 burstiness도 어느정도 존재한다는 것을 말해줍니다. 그리고 글의 경우에는 둘다 0에 가까워서 기역효과도 특정단어가 연이어 나오는 일도 없습니다.  최근 연구 결과로는 인터넷 계시판에 글이 올라오는 시간간격에도 확실한 burstiness가 존재하고 그것을 연구하시는 분도 계시고 저희 그룹도 이것에 관심이 많습니다. 

 

더 많은 재밋는 이야기와 고민들이 많은데 우선은 연구실 일들이라 편하게 이야기 하기는 어렵네요.. ^^

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
음악2010. 1. 5. 21:14

윤하 Growing Season

윤하의 신보를 뒤늦게 구매했습니다.

연구실에서 퍼저있으서 몰골이 말이 아니네요..;; 밥도 안먹고..ㅠ_ㅠ 

윤하는 객관적으로 봐도 상당히 괜찮은 싱어송라이터입니다. 크게 대중적인 이윤을 찻지 않으면서도 자신의 음악색깔을 확실하게 지키고 있죠.. 확실히 growing season인거 같습니다. 
한곡한곡이 충분히 겨울의 감성과 어울리구요. 유희열이 참여한 곡도 상당이 퀄리티가 높습니다. 개인적으론 한곡한곡 모두 맘에 듭니다. (저는 그러지 않고선 웬만해선 구입을 안합니다.. 이런.. 몹쓸..ㅠ_ㅠ)

타이틀곡인 오늘 헤어졌어요.. 이것도 도입부 가사가.. 정말 절절 합니다..

붉어진 눈은 깜빡이며 널 기다렸어..
......
머슥한 눈 인사에 목이 메이고..
한발 물러선 우리들 공간에 눈물터지고
화가나서 소리치듯 가란 내말에..

등등은 들을수록... ㅠ_ㅠ

'편한가봐' 도 감성적인 가사가 인상적입니다. 
모든 곡이 정말 가사며 멜로디가 좋습니다. lalala의 사랑하는데 외로워 흥얼흥얼이나..ㅋ

하지만 가장 22살의 감성과 어울리는건..
이 스물두 번째 길 일것입니다..

차가운 창 밖으로 하나 둘
하얗게 새어가는 별들에
입김을 불어본다

해가 뜨고 석양에 잠겨도
시간이 흘러도 난 영원히
이대로 일 것 같아

이대로 일 것 같아

어디로 가고 있을까
어디쯤 가고 있을까
눈을 뜨고 맞은 아침에
더 이상은 새로움이 없네

채워지지 않는 맘은 다
시간이 지나면 괜찮아질까

넘치는 사람들 그 안에 홀로 선
스물두 번째 길

참.. 머랄까요.. 전 27인데도.. 들으면 비슷한 느낌을 받을때가 많죠.. 지금이야.. 그 특별함 없는 익숙함에 설설 기며 살지만.. 저도 저런 생각을 할때가.. 있었으니까요..^^
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Posted by blindfish
책2010. 1. 2. 21:19

알랭 드 보통의 "왜 나는 너를 사랑 하는가?"

오늘에야 비로서 이 책을 다 읽게 되었습니다. 얼마전에 지인에게 한권 선물 했었지요.. 오늘은 하동관에 가서 곰탕을 한그릇 하고 (아.. 정말 맛집이긴 하더군요.. 강한 맛보다는 '이게 곰탕이다..'랄까..;;) 이리 저리 홍대를 배회하다가.. 카페 Maro에 가서 커피를 마시면서 책을 읽었습니다. 이 책은 솔직히 연애에 대한 이야기 보다는 거의 철학과 심리학에 대한 서적이라고 해도 무방할 정도로 비유가 적절하면서 심층적인 묘사를 하고 있는데요. 
(출처: 다음 책)
어떤 부분은 공감하게 되고 어떤 부분은 공감하지 못하겠는 부분도 있고 그렇습니다. 아직 연애 경험이 많이 모자란 것도 있고 여자를 오래 사귀어 본적이 없는 저로서는 중간부분에 익숙해짐이나 권태, 다른 사람에 대한 유혹 등은... 제대로 이해하긴 힘들었고 그냥 그렇지 않을까.. 라는 정도로 이해할수 밖에 없었습니다. 
그외에는 서로를 인지하거나 이해하는 부분은 그리고 처음 만나서 사랑에 빠지게 되는 과정들과 이런 부분들도 상당히 공감하는 부분들이 많았습니다. 책의 내용은 주인공이 클로이란 여자와 사랑에 빠지게 되고 헤어지기 까지의 과정들을 디테일하게 설명하고 기록하며 분석하는 내용들인데요. 
처음에 만나서 서로를 우상화 하고 사귀게 되고 나서 부터 그런 부분들이 무너지는 과정이라던지, 서로 사랑하기 때문에 서로를 간섭하고 변화시키려 하고 싸우는 면면들이 인상깊은 부분이 많았습니다. 몇개의 문구를 보면

매력적이지 않은 사람과 함께 있을 때 둘 다 입을 다물고 있으면 그것은 상대가 따분한 사람이란 뜻이다. 그러나 매력적인 사람과 함께 있을 때 둘 다 입을 다물고 있으면 따분한 사람은 나 자신이 되고 만다.

마흔이 되면 모든 사람이 자신에게 어울리는 얼굴을 가지게 된다. -조지 오웰

등등의 문구들은 신선한 상쾌함을 가져다 주었습니다.
제가 가장 기억나게 읽었던 부분은.... 흠..(약간의 스포일러 일수도 있는데 별로 중요하진 않습니다..)
주인공이 클로이와 헤어지게 되면서 가지게 되는 감정들인데요. 여기서 주인공인 '나'는 친구 윌에게 클로이를 뺏기고 말죠..ㅠ_ㅠ 여기서 주인공은 심각한 자기 혐오와 좌절에 빠지게 됨니다. 주인공은 자살을 결심하게 되는데요. 자살.. 이 자살을 통해 주인공은 클로이 없이는 한순간도 살수 없이 힘들고 고통스럽다는 감정을 증명하려고 합니다. 그리고 사랑하는 클로이가 자신의 사랑을 이로서 알아주기를 간절히 바라는 모습을 가지게 되지요. 모든 사람들은 연애를 할때 진심을 그 사람을 사랑한다면 이 사람 없이는 인생에 아무 의미도 없고, 자신의 존재의 의미조차 부정해 버립니다..(정상적이며 순수한 사랑에서는 이 부분은 자명한 부분에 속한다는건 말할 필요도 없는 것이겠지요..)
특히 처음 사랑을 하게 될때나 진심으로 그 사람을 사랑할때.. 사람은 그 사람을 자신의 모든것으로 만들어 버립니다. (여기서 부턴 약간 저의 의견..) 하지만 뭐가됬든.. 이별은 찻아 옴니다.. 정말 어쩔수도 피할수도 없게 가혹하리 만큼 이별이 찻아오게 되죠. 책의 표현을 빌리자면..

오늘은 이 사람을 위해서 무엇이라고 희생할 수 있을거 같은데, 몇 달 후에는 그 사람을 피하려고 일부러 길 또는 서점을 지나쳐버린다는 것은 무시무시하지 않은가.

이래서 이별이 아픈 거겟죠..
어쨋든 아시다 시피 모든 사람이 책의 주인공 처럼 죽으려고 하지 않습니다. 저도 처음엔 죽어버릴까.. 라고 생각을 안해본건 아닙니다. 대부분은 그냥 꾸역꾸역 인생을 살아가던지, 현실을 부정하며 술에 쩔어서 살아갑니다. 그리고 결론은 무엇이느냐.. 정말 죽을거 같은 시간이 지나면 '나'는 그녀 없이 잘 살아갑니다. 언제 있었냐는 듯이.. 누군가의 표현대로 밥 잘먹고 잠 잘자고 살아가죠.. 하지만 그때 그 마음과 기억은 어느정도 마음속에 깊게 뿌리내어 동시에 살아갑니다. 여기서 역설이 생깁니다. 사랑은 완전하고 그 사람없이는 도저히 살수 없을거 같은데 잘 살고 있죠. 
그렇다면.

1. 난 그녀를 그렇게까지 사랑하지 않았다.

2. 사랑이란 녀석이 원래 그런거다.

3. 내가 이상한 녀석이다.

3번은 좀 비약 일수도 있는데 별로 중요한 논의에 넣지 않는게 좋을거 같습니다. 그래봐야 자기 혐오에 빠지기만 할테니까요.

1번의 경우, 처음 한번에는 괜찮습니다. 하지만 횟수를 거듭할수록.. 1번 의문에 회의가 듭니다. 
'그렇다면 지금까지 난 진실된 사랑을 한번도 안해 본거야?'
라구요..  시간이 지나도 정말 좋아하는 사람을 계속 만나지 못한다고 생각이 듭니다. 그러면서 진실한 사랑을 하지 못하는 자신의 운명을 비관합니다.

2번의 경우, 점점 사람이 사랑이란 가치를 가볍게 보면서 냉소에 빠져듭니다. 2번에 대한 인식이 깊어 질수록 오히려 이러한 인식으로 인해 진실한 사랑을 하는데 장애물이 되죠. 이런 면에서 연애를 많이 하면 자기 자신이 점점 업그레이드 되는 기분은 들지만..(여자를 대하거나 남자를 대할거나 서로를 이해하는데 말이죠.) 사랑의 진실성과는 점점 멀어지게 됩니다. 

멀정한 사람들은 대부분 사랑을 하면 언젠가 이별이 온다 라는 명제는 너무나도 자연스럽게 알고 있습니다. 하지만 막상 자기가 사랑을 하게 되면 이러한 사실을 받아들이지 못하는게 사실이겠죠.. 그래서 사랑이 어려운가 봅니다..

비록 알랭 드 보통처럼 철학자처럼 이야기 하진 못했지만 제 수준에서 나름 노력해서 글을 써봤습니다. 올해 제 나이가 27인데 알랭 드 보통은 26에 이 책을 썼다니까 정말 믿어지지 않네요..
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Posted by blindfish
일상/일기2009. 12. 17. 19:46

diary 12/17

It is hard day.. today, my consumption is not enough to continue my body. I have to eat indiscriminately. I am little sleepy.. 
I think my books arrived in today. but I can't receive any books. "why I love you" has some interesting story. My friend Byul recommend this book when I am in trouble from myself. I have some emotional disease cause experience of sad love. Sometimes my pasts make me crazy and gloomy. from these reasons, I cannot love someone normally. in the morning, I fade up her again. whenever I think sua.. however I am not sad. I have some plan to surprise her. this plan is that I take a picture everyday morning or evening. when I say my love to her, I will show the gif animation that made by these pictures. maybe it is need to long time to prepare. Also opportunity that show this gif animation to her may not come to me. but... I'm fine. I have not only this plan, but also I have another plan to her surprise. It is called experiment of sound detecting. 
now I am listening to song that Yunha sing "today we brought out.." I should prepare some presentation to "burstiness in on-line forum" in 28 Dec. It is not too hard to me. but I don't know why the efficiency is not raised. Do i have too many concern..?
anyway X-mas is coming..!! I should chaise my route that how I will study in my fields..
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Posted by blindfish
일상/일기2009. 12. 3. 00:06

복잡계 컨퍼런스


지난주 토요일에 복잡계 컴퍼런스에 다녀왔습니다.
비록 연구실 member들이 모두 모인건 아니지만..
interst가 있는 좋은 주제들도 많았었고,
경제등의 인문학의 학문분야들에 대한 다양한 이야기를 들을수 있어서 좋은 시간이었습니다.
그리고 성국이 형이 입상도 했네요..^^

요즘은 연구실 생활이 편하고 좋아서인지 살도 좀찌고..
영어 공부할때보다 마음이 편해서 인지 몸도 많이 건강해 졌습니다.

사진순서
me, 김범준교수님, 성국이형, 일구형, 성민이형(SERI에 계심)

흠... 사진빨은 정말 안받네요..ㅠ_ㅠ
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Posted by blindfish

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