물리2010. 7. 26. 21:17

소리굽쇠에 대한 논의

좀 오래전에 튜닝르 하기 위해서 소리굽쇠를 구입했습니다.

2010-06-28_14.42의_사진.jpg

독일의 위트너 사에서 만든 440Hz의 라(A)음을 내는 녀석이죠. 가격이 2만원입니다.; 사고 나서 후회했습니다..=_=

 

중요한건 그것보다 저녀석의 성질인데요. 처음 물건을 받았을때 소리굽쇠를 아무리 세게 쳐도 소리가 들리지가 않았습니다. 물런 진동은 느껴지는데 소리가 도무지 들리지가 않았죠. 이상하게 생각되서 귀에 가까이 대니 소리가 작게 들립니다. 황당했습니다. 제가 가한 에너지에 비해 정말 어이없을 정도로 터무니 없이 작은 소리가 나고 있었기 때문이죠. 그리고 이녀석을 이리저리 가지고 놀면서 깨닮은 몇가지 사실들이 있습니다. 

  1. 진동을 준후에 딱딱한 유리나 물체에 가져다가 대면은 큰 소리가 나네요. 

  2. 그냥 진동을 준후에 귀에 가까이 대고 있으면 소리가 오래가더라구요.

  3. 간단히 이야기해서 에너지가 바로 나오는게 아니라, 작은 소리로 오래오래 나오더라는 거죠

 

그렇다면.. 왜 그런걸까요.,? 고민하다 얻은 결론은 아주 간단합니다. 네! 쌍극자였습니다. dipole 이란거죠. 그렇다면 왜 이런 현상이 일어나는지 알아보도록 하죠. 저 Y자 모양의 진동자는 단 하나의 방식으로 밖에 진동할수밖에 없습니다. (normal mode가 1개밖에 없습니다. ) 그건 두 쇠가 반대방향으로 움직여서 대칭적으로 움직이는 것입니다. 그렇다면 위상은 어떻게 될까요? 위상은 정반대가 됨니다. 그래서 왼쪽의 쇠가 내는 진동을 오른쪽이 내는 진동이 상쇄시켜서 전체적으로 소리가 작게 들립니다. 

 

edip.gif
그림에는 electric dipole이지만 위상(phase)이 반대인 두개의 음원이라고 생각해도 갇습니다. 저도 처음엔 고민을 많이 했던 부분인데요. 파동도 벡터이고 전기장도 벡터이기때문에 같은 논리로 접근하여도 무관하다는 것을 깨닮았습니다. 물런 위상차를 계산하게 되면 간섭효과가 나타나겠지만 음파의 파장이 너무 길기때문에 (음파의 속도는 330m/s 진동수는 440Hz 이므로 파장은 0.75m가 됨니다.) 그림에서 보았듯이 위상차는 d\cos{\theta}입니다. 실제 그림에서 보듯이 d는 1센티정도 밖에 되지 않습니다. d\cos{\theta}=n\lambda 이 식으로 보기엔 파장이 너무 깁니다. 

 

자 그럼 풀어 볼까요. dipole의 potential을 풀어 볼까요. 위의 그림에 답은 있지만 풀어보도록 하죠.

 

V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{q}{r_+} -\frac{q}{r_-} \right)

우선 포텐셜은 어떤 지점에 있다고 이야기 할때 저렇게 주어집니다. (전기장이란 벡터장을 스칼라장으로 바꾸어서 품니다. 편리하죠. )

 

r_{\pm}^2=r^2+(d/2)^2\mp rd\cos\theta=r^2\left( 1\mp \frac{d}{r}\cos\theta+\frac{d^2}{4r^2}\right)
고등학교때 배운 코사인 법칙이죠. 삼각형의 변의 길이를 이렇게 구합니다. 

 

여기서 루트기호를 쒸워주고 거기에다가 r>>d이므로 마지막 제곱하은 제거해버리도록 근사를 합니다. 


\frac{1}{r_{\pm}}\simeq\frac{1}{r}\left(1\mp \frac{d}{r}\cos\theta \right)^{-1/2} \simeq \frac{1}{r}\left(1\pm\frac{d}{2r}\cos\theta\right)

그 다음 근사에 대해서 설명해 드리도록 하겠습니다.

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.

다음과 같은 테일러 근사를 합니다. 

\left( 1 \mp \frac{d}{r}\cos\theta \right)^{-1/2}= 1 \pm \frac{d}{2r}\cos\theta+\dots


여기서 포텐셜을 구해보도록하죠.
V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{q}{r_+} -\frac{q}{r_-} \right)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left( \frac{1}{r_+} -\frac{1}{r_-} \right)

 


V(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qd\cos\theta}{r^2}

 

이걸 미분을 하면 전체적인 장은 


F(\vec{r})\propto\frac{1}{r^3}
이러한 형태를 가지게 됨니다. 

이제 소리굽쇠가 소리가 왜 크지 않은지 알거 같죠? 귀에서 조금만 떨어져도 소리가 급격히 줄어 버립니다. 

 

튜닝에 대해서 말씁드리면.. 소리굽쇠에 진동을 주고 입에 물면 턱을 통해서 고막에 진동을 줍니다. 그리고 나서 기타 4번줄에 7번플렛 하모닉스(3배진동)을 주게 하면 그 음과 굽쇠의 음이 조금 다를경우 맥놀이(beat)가 일어나게 됨니다. 그리고 그 맥놀이를 줄이는 방향으로 조율을 하면 됨니다.. 

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물리2010. 7. 6. 22:32

네트워크 분석

mean separation

<d>=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i,j, i\neq j}d_{ij}

(d_{i,j}는 i, j의 shortest path)

 

Efficiency

\mathcal{E}=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{i,j,i\neq j}\frac{1}{d_{ij}}disconnect 된 (크기가 유한한) 네트워크의 지름을 측정할때 유용함.

 

Betweenness Centrality and load(부하)

b_i=\sum_{j,k\in N, j\neq k}\frac{n_{jk}(i)}{n_{jk}}   (BC)

n_{jk} : j와 k사이의 shortest path way의 수

n_{jk}(i) : shortest path way 중에서 i를 지나는 경로수

 

\mathcal{L}_i=\sum_{i,k\in N, j\neq k} \mathcal{L}_{j\mapsto k}(i)(모둔 노드쌍(j, k)에 대해 \mathcal{L}_{j\mapsto k}(i)를 더한값)
\mathcal{L}_{j\mapsto k}(i) : j에서 k의 최단경로로만 패킷이 지나갈때 i를 지나는 패킷의 양(최단경로가 여러개면 나누어서 전달됨)

 

두 이웃 도수간의 상관관계

<k_{nn}>(k): 한 노드의 이웃 노드들의 평균 링크의 수

(솔직히 좀 이상한 값으로 느껴짐, 링크가 k인 모든 노드가 같은 <k_{nn}>(k)를 가질리가 없음.)  

(a) 감소하는 경우: link가 많은 노드와 적은 노드가 연결됨, 비유사성 결합(인터넷, 단백질)

(b) 증가하는 경우: 링크가 많은 노드와 많은 노드가 연결됨, 유사성 결함(사회 연결망)

(c) 변하지 않는 경우: 링크가 많은 노드와 적은 노드가 관련성없이 연결됨(random network)

k가 큰 경우, 상관함수(correlation function)는 <k_{nn}>(k)\sim k^{-\nu}과 같은 관계를 가지는 것도 존재합니다.

(a)의 경우 \nu > 0, (b)의 경우 \nu < 0, (c)의 경우 \nu = 0 

 

 

유사성 지표

r=\frac{<k_1 k_2>-<(k_1 + k_2)/2>^2}{<(k_1^2 + k_2^2)/2>-<(k_1 + k_2)/2>^2} 

일종의 Pearson correlation 

r이 양수이면 양의 상관관계, 음수이면 음의 상관관계, 0이면 무관.

집결계수(clustering coefficient)

C_i = \frac{2E_i}{k_i(k_i -1)}
어떤 노드 i가 가지고 있는 링크의 수 k_i

E_i는 노드 i 에 연결된 노드들 사이의 연결선수를 말한다. 

\frac{k_i(k_i-1)}{2} 는 그 노드들 사이의 최대 연결 가능 선수를 의미한다. 

링크가 k개인 노드의 평군 clustering coefficient는 C(k)라고 쓴다. 

네트워크가 계층적 집단구조(hierarchical modular structure)를 가지면  C(k)\sim k^{-\eta} 같은 멱급구 함수가 된다. 

 


 

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물리2010. 5. 25. 15:54

특스 상대성 이론 예제

4광년 떨어진 켄타우스 알파 별까지 다녀 오기..

4광년 덜어진 별까지 다녀오는데 우주비행사는 7.6 년이 걸렸다고 한다면 우주비행사가 별까지 여행했을때의 속력은??

 

 

지구에서 본 우주선의 비행시간은 별까지 갔다 오는데까지의 시간 (t=8광년 * c/v)
우주 비행사가 느낀 시간 (t_0=7.6년)

 

 

t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}


8*\frac{c}{v}=\frac{7.6}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

 


\beta \equiv \frac{v}{c}

이라고 정의하고 식을 다시 보면

 

\frac{8}{7.6}=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}

 


\left(\frac{8}{7.6}\right)^2=\frac{\beta^2}{ \left(1-\beta^2\right)}


잘 정리해서 풀면 


\beta = 0.716115

 

가 나오게 되서 속도는 0.716115c 가 되게 됨니다. 

길이 수축으로 푸는게 쉽게 느껴지기도 하는데요. 식은 결국 같게 됨니다. 

 

조종사가 느끼는 수축된 거리 L=7.6v

실제 지구와 별사이의 왕복 거리 L_0=8c

 

L=L_0 \sqrt{1-\beta^2}
\frac{7.6}{8}\beta=\sqrt{1-\beta^2}

여기까지만 봐도 위의 식과 같다는걸 알수 있네요. 

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물리2010. 4. 11. 00:28

bisection method

남들과는 조금 다르게 재귀적 용법을 사용해서 만들어 봤습니다. 
재귀적 용법이 어떤때는 좀더 덜 직관적일때도 있고 어떤때는 메모리 문제로 많은이들이 회피 하지만.. 간단하게 짤수 있고 소스코드가 짧아진다는 장점은 여전히 있습니다.. 머.. 그렇게 생각 안하시는 분들이 많을거 같네요..^^ㅋ

bisection method는 풀수 없는 어떤 방정식이 있을때 그 것을 대수적(numerical)하게 푸는 유용한 방법중에 하나로  상당히 직관적이면서 편리 합니다. 클릭해보시면 알겠지만 위키에 아주 설명이 잘 되있습니다. 

 

예를 들어 아래 와 같이 

a+\sin(x)+bx=0

과 같으 수식이 있다고 하면 손으로 푸는것은 쉽지 않습니다. 이 경우엔 어떤 지점 a,b를 잡아서 f(a)와 f(b)의 곱을 구합니다. 그후에 그들의 값이 0보다 작은우 해는 a와 b사이에 있는 어떤 값이 되겠죠. 여기서 a와 b를 점점 줄여가면서 해로 근접해 가는 방법 입니다. 별로 어렵지 않죠?

그림이 있어야 이해가기가 쉬운데.. 아쉽게도 그림으로 그리기는 쉽지가 않네요.
이 글이 많은 사람들에게 도움이 되기를 기도해봅니다.. ^^ 

 

 

 
double bisection(double time, double velocity)
{
        double solution1;
        double solution2;
        solution1=0;
        solution2=1000;
        return moving_mid(solution1, solution2, time, velocity);
}
double eq(double sol, double time, double velocity)
{
        return 4+sin(time)+sin(sol)-velocity*sol;
}
double moving_mid(double solution1, double solution2, double time, double velocity)
{
        double solu_mid;
        velocity=fabs(velocity);
        if( fabs(solution1 - solution2) < 0.00001)
                return solution1;
        else if(eq(solution1, time, velocity)*eq(solution2, time, velocity) < 0 )
        {
                solu_mid= (solution1 + solution2)/2; 
                solution1 = solu_mid;
                return moving_mid(solution2, solution1, time, velocity);
        }
        else
        {
                solution1=solution1*2 - solution2; 
                return moving_mid(solution2, solution1, time, velocity);
        }
 
}

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물리2010. 3. 22. 18:23

윷놀이에 대한 수학적, 물리학적 고찰

학부 통계물리시간에 교수님께서 재밋는 이야기를 해주시면서 다음과 같은 문제에 도전해 보라고 이야기 하셨습니다. 다름이 아닌 윷놀이에 대한 것인데요. 

 

윷이 뒤집어진 경우에는 \cup 이런 모양일거고, 실험적으로 확률은 0.6 정도 된다고 하네요. 반대로 덥혀있는 모양 \cap 인 경우에는 0.4 정도의 확률을 가진다고 합니다. 이때 교수님이 제시한 문제는 다름아닌 윷 놀이를 할때 한번 던졌을때 말이 전진하는 기대값이 얼마냐는 것입니다. (계산이 너무 복잡해지는 것을 막기위해 빽도는 빼는걸로 합니다. )

자.. 언듯 보면 쉬운 문제지만.. 아주 어려움 부분은 모나 윷이 나오면 한번 더 던질 수 있다는 것입니다. 이게 정말 문제를 급격하게 어렵게 만듭니다. 이것때문에 뭔가 풀릴듯 안풀릴듯 하는 느낌 때문에 밤늦도록 잠도 못 자보건 오랜만에 일이었습니다. 슬슬 풀이로 넘어가 보도록 하죠. 우선 제가 풀었던 방법이 있는데 기발하긴 했으나 깔끔하지 않았고 '모'에서 한번 더 던지는 부분이 오류가 심해서 그냥 버리도록 하죠.(뭔가 아깝네요..ㅠ_ㅠ) 우선 교수님의 솔루션입니다.

 

각각의 수들을 인덱스 형태로 나타내 보도록 하죠. 

a_1=1 \\ a_2=2 \\ a_3=3 \\ b_4=4 \\ b_5=5

 

우선 a, b는 말이 나왔을때 움직일수 있는 거리입니다. 도, 개, 걸, 윷, 모 라고 하죠. 윳과 모는 한번 더 던질때 계산이 달라지기 때문에 b라고 표기 했습니다. 다음으로

P_1=\phantom{}_{4} C_{0}(0.4)^4 \\ P_2=\phantom{}_{4} C_{1}(0.4)^3 (0.6) \\ P_3=\phantom{}_{4} C_{2}(0.4)^2(0.6)^2 \\ P_4=\phantom{}_{4} C_{3}(0.4)(0.6)^3 \\ P_5=\phantom{}_{4} C_{4}(0.6)^4

의 확률값을 가지게 됨니다. 이것은 마치 

(0.4+0.6)^4

의 각항들을 표시해놓은 것이라고 할수 있죠. 

 

그렇다면 윷을 한번만 던질때 기대값은 얼마일까요?

(0) \ \ \ a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3

대충 이런 느낌이 되네요. 두번은

(1) \ \ \ (a_1+b_4)P_1P_4+(a_2+b_4)P_2P_4+(a_3+b_4)P_3P_4\ (a_1+b_5)P_1P_5+(a_2+b_5)P_2P_5+(a_3+b_5)P_3P_5

이런식의 두가지 형태를 가지게 됨니다. 한번은 윷이 

(2) \ \ \ (a_1+2b_4)P_1P_4^2+(a_2+2b_4)P_2P_4^2+(a_3+2b_4)P_3P_4^2\\ (a_1+2b_5)P_1P_5^2+(a_2+2b_5)P_2P_5^2+(a_3+2b_5)P_3P_5^2 \\2\left[(a_1+b_4+b_5)P_1P_4P_5\right]+2\left[(a_2+b_4+b_5)P_2P_4P_5\right]+2\left[(a_3+b_4+b_5)P_3P_4P_5\right]

세번 던질때는 이런 기대값을 따르겠네요. 미리 이야기 하는 것이지만 각 줄들을 다 합해야 기대값이 됨니다. 그리고 (2)에서 마지막 줄에서는 윷이 먼저 나올수도 있고 모가 먼저 나올수도 있기때문에 저런식으로 표시했습니다. 

벌써부터 보며서 조금씩 규칙성을 찻을수 있네요. 

인덱스 1,2,3 은 따로 빼보도록 하죠.

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}(a_i+2b_4)P_iP_4^2\\ +\sum_{i=1}^{3}(a_i+2b_5)P_iP_5^2\ +2\sum_{i=1}^{3}\left[(a_i+b_4+b_5)P_iP_4P_5\right]
많이 간단한 모양이 됬네요. 

이항 전개방식으로 바꾸어 보도록 하죠. 우선 a 와 b부분을 분리해보도록 합시다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i P_4^2+\sum_{i=1}^{3}2b_4 P_iP_4^2\\ +\sum_{i=1}^{3}a_iP_iP_5^2+\sum_{i=1}^{3}2b_5P_iP_5^2\ +\sum_{i=1}^{3}2a_iP_iP_4P_5+\sum_{i=1}^{3}2b_4P_iP_4P_5+\sum_{i=1}^{3}2b_5P_iP_4P_5\right]

이향 전개 형식으로 묶습니다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i (P_4+P_5)^2 +\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2
이것은 위의 식과 전혀 같지가 않습니다. 일단은 인수 분해 한다는 마음으로 묶어 준것인데, 앞에  a에 관한 항은 정확하게 맞지만 뒤의 항은 뭔가 꺼림직 하지요.

완전히 다른 것이지만.. 우선 이런식으로 써줌으로서, 좀 중간에 생각하면서 쉴 여유를 만든후에 미분이라는 개념을 도입합니다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i (P_4+P_5)^2 +\frac{\partial}{\partial b_4}\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2 +\frac{\partial}{\partial b_5}\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2
네.. 위를 전개해서 미분하면 분명히 전전식의 결과와 완벽하게 일치 합니다. 2차 이상의 항에서도 이와 같을가요?

글을 읽는 사람들은 누구나 의심해보는 일이지만 직접해보면 완벽하게 같다는 것을 알수 있습니다. 
자 그럼 모든 n에 대해서 합을 해보도록 합시다.

\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}\left[a_i P_i (P_4+P_5)^n +\frac{\partial}{\partial b_4}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^n +\frac{\partial}{\partial b_5}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^n\right]

이런 모양이 됬네요. 가장 간단한 모양입니다. 미분을 실제로 해보도록 하죠. 

\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}\left[a_i P_i (P_4+P_5)^n +nP_iP_4(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1} +nP_iP_5(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1}\right]<x>=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}P_i\left[a_i (P_4+P_5)^n +n(P_4+P_5)(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1} \right]

자.. 결국엔 완성이네요.. i와 n을 제외한 모든 값들은 상수 값입니다. 그리고 P들은 다 1보다 작은 값들이네요. 

하지면 여기선 문제가 하나 있습니다. 뭐나면 바로 
\sum_{n=0}^{\infty}nk^{n-1}

이런 꼴의 합이 존재하는거죠. k는 1보다 많이 작은 값이 됨니다. 하지만 결정적인 문제는 저런 급수합이 대수적(analytic)으로 풀이가 없습니다. ㅠ_ㅠ

적어도 제가 아는 중에는 풀이 방법을 모르겠는데 고수님들 혹시 아시는 분 있으시면 알려주세요~
메스메디카로 돌려본 답은 3.2759입니다. 웃긴건 항을 약간 전개해주면 2.2이 나온다는 건데요. 중간에 뭔가 알고리즘상의 하자로 인해서 값이 이상하게 나오는거 같습니다. 

다음으론 후배들이 만들어낸 아주 간단한 풀이법입니다. 수식 자체가 자기유사성(self similarity )을 가지는 플렉탈 구조이기 때문에 간단하게 풀수 있죠. 하지만 개념을 이해하기가 쉽지가 않습니다. 처음 식으로 돌아가보도록 하죠. 

여기서 \phi는 거리의 기대값<x>이라고 하죠. 

\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4\ldots+b_5P_5\ldots

딱 보면 기대값은 이런식의 값을 가지게 될것입니다. 하지만 우리는 여전히 윷이나 모가 나왔을때 어떤 일이 일어날지는 모르는거죠. 하지만 하나 확실한건 윷이나 모가 나온후에 다시 던진다는 것이고 윷이나 모가 나오면 확실하 4칸이나 5칸을 이동하는 것입니다. 그렇다면 이런식으로 바꾸어 쓸수 있습니다. 
\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+P_4(b_4+\phi)+P_5(b_5+\phi)

언뜻 이해가 되지 않을지도 모릅니다. 저도 이해하는데 한참 걸렸죠. 다시 한번 던칠 확률 자체가 윷과 모가 나올 확률과 동일해지는 것입니다. 그리고 다시 던지는 경우에는 확실하게 4칸이나 5칸이 진행이 되서 b옆에 확률 1이 곱해지는 것입니다. 정말 간단한 식이니 정리 해보도록 하죠.
(1-P_4-P_5)\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4+b_5P_5

\phi=\frac{a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4+b_5P_5}{1-P_4-P_5}

 

이 식의 값은 2.99242입니다. 아래 시뮬레이션한 프로그램의 값이랑 정확하게 일치하는 값이네요. 이것을 푼 메스메디카 소스도 첨부 하도록하죠.  yut(1).nb

아래 소스코드는 C로 짠 시뮬레이션 코드 입니다. 무쟈게 짧아서 좋습니다. TRY를 수정해 가면서 해보세요. 1억번은 좀 심하긴 하죠..

 

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#define TRY 100000000

 

int yut(int x);

 

int main(void)

{

        int i;

        int x=0;

        int total=0;

 

        srand(time(NULL));

 

        for(i=0; i<TRY; i++)

        {

                x=0;

                total+=yut(x);

        }

 

        printf("%lf\n", (double)(total)/(double)TRY );

 

        return 0;

}

 

int yut(int x)

{

        int i;

        int number=0;

        double direct;

 

        direct=(double)rand()/(RAND_MAX+1.0);

 

        for(i=0; i<4; i++)

        {

                if( direct > 0.4)

                {

                        number++;

                }

                direct=(double)rand()/(RAND_MAX+1.0);

        }


        if(number==0)

                x=yut(x+5);

        else if(number==4)

                x=yut(x+4);

        else if(number==1)

                x=x+1;

        else if(number==2)

                x=x+2;

        else if(number==3)

                x=x+3;


        return x;

}

 

 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
물리2010. 3. 6. 18:26

인간 생태학적 입장에서 접근 해본 자살

최근에 많은 사회 각계각층의 사람들이 자살을 하는 뉴스를 심심치 않게 접하게 됨니다. 물런 글을 쓰는 저조차도 사는게 팍팍한데 누군들 안그런가.. 싶기도 합니다. 과거의 농경사회에서는 모두가 비슷한 일을 하기 때문에 사람과 사람들 사이를 이해하기가 더 쉽지 않았나 싶습니다. 서로 같은 일을 하면서 비슷한 고민을 하게되고 공감도 하게 되면서 서로 연대감을 더 쌓아나가는 거죠. 그래서 시골마을이 도시보다 좀더 서로간에 더 끈끈한 정으로 묶여 있는지도 모르겠습니다. 또한 과거에는 구성원 거의 대부분이 생산활동에 참여하게 되면서 구성원이 많을수록 더 좋은 생산성을 나타내기 때문에 구성원 개개가 중요하게 여겨져서 존재의 의미가 중요하게 됬죠. 자아의 입장에서도 자신은 사회 꼭 필요한 구성원이었을 것입니다. 
아침에 집에서 나와서 떨어지는 햇살을 보면서 '봄이구나..'라고 생각할때.. 문뜩 이렇게 사는데 왜사나.. 싶은 생각이 들면서 무서운 생각들이 들었습니다. 그리고 드는 생각은 사람은 왜 자살을 할까.. 였죠.. 
익히 알려진 대로 어떤 생물도 자살을 하지 않습니다. 오로지 인간만이 자살을 합니다. 몇몇 곤충들이 전체 집단을 위해 자살을 하는 경우는 있습니다. 벌이 말벌을 방어 할때도 벌들이 말벌에 뭉치듯 달려들어서 온도를 높여서 다같이 죽는 것도 공격이자 자살이라고 볼수 있죠. 그렇게 따지면 인간의 자살은 확실히 곤충의 그것들과도 역시 다름니다. 
예전에 보았던 책중 하나인 데이비드 모리스의 인간동물원이란 책에서는 인간이 자살을 하는것은 인간 유전자가 가지고 있는 생존등에 대한 공격성이 표줄될 곳을 찻다가 사회 규범이나 법에 막혀서 발현이 안돼면 자기 자신에게 그 공격성을 표출한다고 합니다. 그것이 일종의 자해나 자살의 기본 원리라고 하네요. 어느정도 공감되는 내용이긴 한데.. 그래도 자살을 완전하게 설명하지 못하는거 같습니다. 꼭 그게 아니더라도 우울에 의해 자살하는것은 확실히 분노에 의해 자살하는것과는 뭔가 다른 이유일테니까요..
여담이 길었는데 이런 심리적인 이유들을 벗어나서 그냥 생태계적인 부분에서만 보면 동일한 두개의 그룹이 있을때 두 그룹다 어떤 위기에 봉착했다고 합시다. 이 위기는 주로 먹을것이 떨어졌다던가 상황이 안좋아졌을때를 말하겠지요? 그런상황에서 한 그룹에는 자살을 유도하는 유전자가 존재한다고 하고 또 한그룹에서는 그런 사람이 전혀 없다고 가정 합니다. 그리고 먹을것이나 에너지, 자원 같은것은 그 그룹이 취득하게 되면 모든 사람들에게 균등하게 분배된다고 가정합니다. 이런 경우엔 어떤 그룹이 갑작스런 상황 변화에서 개채수를 더 유지하면서 오래도록 살아 남을수 있을까요? 
간단하게 자살을 하게되는 유전자를 가진 집단이 더 오래도록 살아남을 것이 자명합니다. 실제로 영양분이 없는 경우에 집단은 개체를 증가시키는 생산 활동을 중단할것이고(물런 이것도 크게 맘대로 되지는 않습니다.) 그 다음에는 개채를 줄여나갈려고 노력 할것입니다. 자연적으로 개채가 줄기도 하지만 그것은 맘대로 되는게 아니기 때문에 몇몇은 인위적으로 개체가 줄어야 합니다. 이때 개체를 줄여주는 유일한 방법은 개체자체가 없어져줌으로서 자신이 속한 그룹의 유전적 정보를 보존하는 것이 가장 효율적입니다.
하지만 여전히 해결되지 않는 의문이 있습니다. 왜 동물에서는 일어나지 않고.. 인간만 그런 특성이 있는걸까요?.. 포식자가 알아서 개채수를 줄여주므로?? 그럼 인간아닌 생태계 최상층의 존재들은 왜 그런 행동을 하지 않는 걸까요? 
이에 맞추어서 시뮬레이션도 해볼려고 생각을 해봤는데.. 아직 괜찮은 아이디어나 뭔가를 할수 있을거 같은 것을 찻을수가 없었고.. 통계적 데이터도 별로 없고.. 복잡합니다.. (솔직히 연구화 할수 있는 조금의 아이디어는 있지만.. 그다지 도움은 안됌니다.. )

몇일전이었을까요.. 왜 이러고 사나 싶어. 가스를 돌려놓고 잤는데 요즘은 가스렌지가 좋아서 그런지 불이 안붙으면 가스가 나오다가 말더군요.. 자다 일어났는데 아무일도 없더라구요.. 
그냥 배가 고파서 불을 켜고 라면을 하나 끓여 먹었습니다. 꾸역꾸역 먹다보니.. 기분이 좀더 좋아지더라구요.. 
죽는건 역시나 한순간인거 같습니다. 아무리 막장이고 아무리 끝장이더라도 개체가 영양분을 흡수하니 자기 파괴적 유전자가 조금은 억눌러지면서 우울에서 벗어나네요..
가장 좋은 자살 예방법은 어쩌면 밥 잘먹는거.. 배고프면 먹는거.. 그런건지도 모르겠습니다..
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Posted by blindfish
물리2010. 2. 10. 16:33

2.2 평균장 열동역학적 지수(The mean-field thermodynamic exponents)

이 글은 Dung-Hai Lee 교수의 critical phenomena라는 책(?), 강의노트(?)를 기반으로 스터디한 글입니다.

고수님들 틀린 부분있으면 확실하게 지적해주시기 바랍니다. ('-')/

2.2절 입니다. 전 절에서 썼던 식 

<S>=\tanh\beta(h+Jz<S>) 로 시작해 보도록 하죠. 

우선 우리는 온도 T\to T_c^- 일때 m_0\to 0  즉, <S>\to 0 이므로 \beta Jz<S>도 0으로 수렴합니다. 그러면 tanh함수를 테일러 급수 전개(talyor expansion)를 할수 있습니다. 

<S>\approx\beta Jz<S>-\frac{1}{3}(\beta Jz<S>)^3+\ldots

여기서 <S>를 m_0라고 생각하고 바꿈니다. 스핀의 기대값이나 자기밀도나 같은 값이라고 이야기해도 괜찮겠죠. 여기서 m_0는 자발적 자기밀도(spontaneous magnetization)입니다. 그리고

T_c \equiv \frac{Jz}{k_B}

라고 정의 했었죠. 

\left(\beta=\frac{1}{k_B T}\right) 이구요.

Jz=k_B T_c 로 바꾸면

m_0=\frac{T_c}{T}m_0-\frac{1}{3}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3 m_0^3 + \ldots

1=\frac{T_c}{T}-\frac{1}{3}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3 m_0^2 + \mathcal{O}(m_0^4) + \ldots

의 형태가 됩니다. 여기서 m_0\approx0 이므로 4승항 이하로는 제거하도록 하죠. 그리고 나서 m_0에 대해서 정리하게 되면 

m_0=\sqrt{3\frac{T^3}{T_c^3}\left( \frac{T_c}{T} -1 \right)}

이렇게 됨니다. 우리는 T\to T_c^-일때를 이야기 했기 때문에 앞에 \frac{T^3}{T_c^3} 항은 1로 가게 되고 뒤에 괄호 안은 \frac{T_c-T}{T_c}이 됨니다. 온도가 임계온도에 가까워지는 경우 값이 0으로 수렴하게 되죠. 

t\equiv\frac{T-T_c}{T_c}  라는 값으로 1장에서 정의 했습니다. 이 양은 0이 될수록 임계온도에 온도가 가까워지게 되는 것이죠.

결론은 T\to T_c^-일때 m_0값은 0으로 수렴하게 됨니다. 온도가 임계온도에 가까워지면 자성적 성질이 완전히 사라 지게 되는것이죠. 

m_0 \sim |t|^{\frac{1}{2}}

라는 식으로 1장에서 이야기한 m_0 \sim |t|^{\beta} 에서 \beta=\frac{1}{2} 값을 가지게 됨니다. 실제 실험 값이 0.32 정도 인데요. 조금 멀어보이긴 하지만 그래도 대략적으로 조금은 가까워진거 같네요.

다음으로는 임계온도 때에서 외부 자기장 값이 존재할때의 경우를 생각해 보도록 하죠. 여기선 스핀 기대값과 자기장의 관계를 보기위해 이런 접근을 합니다.  그리고 온도가 임계온도이기 때문에 \beta를  \beta_c 라고 합니다. 

<S>=\tanh\beta_c(h+Jz<S>)

=\tanh(<S>+\beta_c h)

여기서는 h\neq0 이지만 후에 h\to0 이기 때문에 외부 자기장 h를 충분히 작다고 생각하고 문제에 접근하면 같은 방식으로 테일러 전개를 할수 있게 됨니다. 

<S>=<S>+\beta_c h-\frac{1}{3}\left(<S>+\beta_c h\right)^3+\ldots

뒤에 5승 이하를 제거 하고 정리하면

\beta_c h =\frac{1}{3}\left(<S>+\beta_c h\right)^3

3(\beta_c h)^\frac{1}{3} -\beta_c h =<S>

여기서  h\to0라고 가정 하기 때문에 1/3승인 h가 그냥 h보다 훨신 큰 영향을 끼치게 됨니다. (dominant)

<S>\sim h^\frac{1}{3}

이라는 결론이 나옴니다. 이런 경우 임계온도에서 외부 자기장의 세기에 따른 스핀의 기대값이 외부 자기장의 1/3승에 비례한다는 것을 알수 있는데요. 실제 실험값은 1/4.80이니까 대략 비슷한긴 하지만 조금 멀어 보이긴 합니다. 조금씩 평균장 이론(mean-field theory)의 한계가 보이네요.

이제 온도가 임계온도 보다 조금더 높은 부분에서의 상황을 보겠습니다. 여기서 \beta h\ll1 인 상황에서만 생각합니다.  이는 열적 현상에 비해 자기장을 지나치게 세게 가하지 않는 다는 것인데요.. 상자성도 강력한 자기장을 가하게 되면 어느정도 자성을 띄기 때문입니다. 

<S>=\tanh\beta(h+Jz<S>)

<S>=0이기 때문에 위의 식은 다시 쉽게 근사 됨니다. 

<S>\approx\beta(h+ Jz<S>)-\frac{1}{3}\left[\beta(h+ Jz<S>)\right]^3+\ldots

\beta(h+Jz<S>)\ll1 이라고 위에서 가정 했기때문에 우선 3승항 이하로는 모두 제거해 보도록 하죠. 

<S>\approx\beta(h+ Jz<S>)

자 이녀석을 잘 요리해 봅니다. 

k_B T<S>\approx(h+ Jz<S>)

k_B T<S>\approx h+ k_B T_c <S>

k_B (T-T_c)<S>\approx h

<S>\approx \frac{h}{k_B (T-T_c)}

온도과 스핀의 기대값은 임계온도보다 조금 높은 부분에서는 이러한 관계를 가집니다. 여기서 스핀의 기대값은 자화율(magnetic susceptibility)와 관계가 있습니다. 상자성을 띄는 상황에서 온도를 얼마나 높여 주느냐에 따라(외부 자기장이 있는 상황에서) 자화가 급격히 낮아지니까요. 강자성에는 스핀이 임계온도에 가까워지지 않으면 모두 한방향을 가르키기 때문에 자화율을 따지는게 의미가 없습니다. 

이 식에서는 온도와 자화율은 \chi(T)\sim T^{-1}를 띄는군요. 하지만 실제 실험값은 1.24의 지수를 가진 멱급수(pow-law)를 따름니다. 그래도 조금은 비슷하네요.

자.. 책에선 이 부분이 가장 논란이 되는 부분인데요. 다음이 1절에서 언급한 헤밀토니안입니다.  

\mathcal{H}=-J\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

처음에 썼던 에너지 연산자(Hamiltonian)을 수정해 줍니다. 전에는 두번 계산(double counting)이 됬덨다고 하네요.  이쪽 공부 해보신 분들은 알겠지만 실제로 각 격자자리(lattices site)들을 지나면서 계산을 하다보면 1번 위치에서 1번 스핀과 2번 스핀 사이에 관계를 계산하고 나서 다시 2번의 위치에서 1번스핀과 2번 스핀의 관계를 또 계산하게 되기때문에 그런 반복된 계산을 제거하기 위해 반으로 나누어 줍니다.

문제는 지금까지 이전의 헤밀토니안으로 이것도 하고 저것도 하면서 잘 써오다가 갑자기 이런식으로 변덕을 주는게 좀 많이 기이하지 않을수 없습니다. 

\mathcal{H}_{mf}=-\sum_i h_{eff,i}S_i + \frac{J}{2}\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j>

이전 헤밀토니안이 음의 부호가 있기 때문에 저 항을 더해주면 두번 더해준 부분을 제거 할수 있습니다. 책에서 보면은 저 부분의 항은 자화(magnetization)에는 영향을 주지 않는다고 하면서 이르 프리에너지(free energy)에 넣습니다. 이 말 부분도 석연치가 않습니다. 확실히 저 부분이 임계온도에 영향을 주기때문에.. 자화에도 어느정도 영향을 줄텐데 말이죠. 물런 임계온도와의 상대적인 값(t)만을 고려한다면 상관은 없습니다.  이제 슬슬 고통스러운 계산의 시작입니다. 

f=-\frac{k_B T}{N}\ln Z

기본적으로 자유에너지(free energy)는 위와 같이 정의 됨니다. 분배함수(partition function)을 적으면,

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace Tr[e^{-\beta\mathcal{H}_{mf}}] \rbrace

이와 같이 됨니다. 그럼 헤밀토니안을 넣고 계산을 해보죠. 

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i - \frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }\right] \rbrace

글씨가 작아져서 잘 안보이기 시작하네요. 

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} e^{- \frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }\right] \rbrace

뒤에 두번째 지수(exp)항은 앞에 S_i랑은 관계가 없으므로 로그를 이용해서 제외 시켜 줌니다.

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} \right] \rbrace -\frac{k_B T}{N}\ln e^{-\frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} \right] \rbrace + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_1}\sum_{S_2}\sum_{S_3}\ldots\sum_{S_N}\left[e^{\beta h_{eff,1}S_1}e^{\beta h_{eff,2}S_2}e^{\beta h_{eff,3}S_3}\ldots e^{\beta h_{eff,N}S_N} \right] \rbrace \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_1}e^{\beta h_{eff,1}S_1}\sum_{S_2}e^{\beta h_{eff,2}S_2}\sum_{S_3}e^{\beta h_{eff,3}S_3}\ldots \sum_{S_N}e^{\beta h_{eff,N}S_N} \rbrace\\ + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln \sum_{S_1}e^{\beta h_{eff,1}S_1}+\ln\sum_{S_2}e^{\beta h_{eff,2}S_2}+\ln\sum_{S_3}e^{\beta h_{eff,3}S_3}+\ldots+\ln \sum_{S_N}e^{\beta h_{eff,N}S_N}\right] \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln(e^{\beta h_{eff,1}}-e^{-\beta h_{eff,1}})+\ln(e^{\beta h_{eff,2}}-e^{-\beta h_{eff,2}} ) + \ldots +\ln(e^{\beta h_{eff,N}}-e^{-\beta h_{eff,N}})\right] \\ + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln(2\cosh{\beta h_{eff,1}})+\ln(2\cosh{\beta h_{eff,2}})+ \ldots +\ln(2\cosh{\beta h_{eff,N}})\right] \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=\frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }-\frac{k_B T}{N}\sum_i\ln\left[2\cosh{\beta h_{eff,i}}\right]

으로 간단하게 정리가 되네요. 휴... 솔직히 중간에 곱기호를 써서 하면 더 편하지만 이해를 돕기위해서 펼쳤는데 앞으론 간단하게 하겠습니다. 

외부 자기장이 균일한 경우에는 전에 봤던대로 간단한 형태로 바꿀수 있습니다. 좀더 복잡한 것을 간단한 것에서 부터 잘 다룰수 있게 됨니다. 

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2\cosh{\beta \left(h+Jz<S>\right) }\right]

i 값과 관계 없이 모든 자리(site)들이 같기 때문에 같은것을 N번 더해주는 것이 되서 N은 소거 됨니다. 

T<T_c 이고 h=0일때는 전부터 언급했던것처럼 물질이 <S>=\pm m_0를 가지게 됨니다. 

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2\cosh{\beta \left(Jz<S>\right) }\right]

우선 자유 에너지의 대략적인 모습을 살펴볼 필요가 있는데요. 이를 위해 <S>이 충분히 작다고 가정하고 그때의 자유 에너지를 근사 할수 있습니다. Jz=k_B T로 바꾸고 두번째 항을 ln와 cosh항으로 테일러 급수 전개(talyor expansion)를 합니다. 그러면

\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots

이런 전개를 적용해서

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2 + 2\frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2!} }+\ldots\right]

 

\approx \frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\ln\left[1 + \frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2} }\right]

\approx \frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\left[\frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2} -\frac{\beta^4 \left(Jz<S>\right)^4}{8} \right]

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\left[\frac{\beta^2 \left(k_B T_c<S>\right)^2}{2} -\frac{\beta^4 \left(k_B T_c<S>\right)^4}{8} \right]

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\frac{\beta^2 k_B^2 T_c^2 <S>^2}{2} -k_B T\frac{\beta^4 k_B^4 T_c^4 <S>^4}{8}

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -\frac{ k_B T_c^2 <S>^2}{2T} -\frac{k_B T_c^4 <S>^4}{8T^3}

=\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)T<S>^2 -k_B T\ln2 -\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)T_c<S>^2 -\frac{k_B T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}

=-k_B T\ln2 -\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)(T_c-T)<S>^2 -\frac{k_B T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}

=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4}\rbrace

이것이 계산한 식이고.

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2+\frac{T_c}{2T}(T-T_c) <S>^2 +\frac{T}{12}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4 \rbrace

이건 책에 있는 식인데요. 확실히 계산한 식이 맞는거 같습니다. 책이 틀렸습니다. 

여기서 알수 있는것은 free energy가 우함수(even function)이라는 것입니다. 그리고 온도가 임계온도보다 낮아 지는 경우, 두번째 항이 음수가 되서 <S>\neq0 이어도 free engergy가 최소가 될수 있습니다. 임계온도가 높을때는 <S>=0 인 경우에만 에너지가 최소가 되죠. 그럼 임계온도보다 낮은 부분에서 free energy를 온도에 변화에 따라 생각해 보도록 하죠. 여기서 중요한건 온도는 임계온도 보다 낮지만 <S>\neq0 이기 때문에 온도는 임계온도에 충분히 가까워야 하겠죠?

\left. \frac{\partial{f_{mf}}}{\partial{<S>}} \right|_{<S>=m}=0

이런 조건을 만족하는 m을 찻습니다. 이것도 한번 미분한 다음에 <S>의 제곱에 대해서 정리하면 돼는데요. 이건 인내심을 가지고 풀어보도록 하죠.

\frac{\partial{f_{mf}}}{\partial{<S>}}=-k_B \lbrace 2\frac{T_c}{2T}(T_c-T) <S> +3\frac{T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 \rbrace =0

\lbrace 2\frac{T_c}{2T}(T_c-T) <S> +3\frac{T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 \rbrace =0

\frac{T_c}{T}(T_c-T) <S> +\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 =0

\frac{T_c}{T}(T-T_c) <S> =\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3

(T-T_c) =\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3<S>^2

<S>^2=\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c)

제가 계산한 식인데요. 책이랑 달라지기 시작합니다.

이것을 다시 처음 free energy식에 넣어주면은

 

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c) +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4\left(\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c)\right)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 -(T_c-T)^2\frac{4}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4\frac{8^2}{9T^2}\left(\frac{T}{T_c}\right)^6(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 -(T_c-T)^2\frac{4}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2 + \frac{8}{9T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 - \frac{8}{9T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 - \frac{8}{9}\left(\frac{T}{T_c^2}\right)(T_c-T)^2}\rbrace

다음과 같은 결과를 얻게 됨니다.

f_{mf}=-k_b T\ln 2 \ \ \ ; T>T_c

f_{mf}=-k_B\left[T\ln 2-\frac{8}{9}\frac{T}{T_c^2}(T-T_c)^2\right] \ \ ;\ T<T_c

책이랑 다르지만 이게 확실히 맞습니다. 

임계온도보다 온도가 높을때는 확연하게 스핀항이 없는 것이 확실하게 free energy를 낮추는 것이구요. 임계온도보다 온도가 낮을 때는 스핀의 기대값이 (자화 magnetization)이 확실하게 존재 하므로 두번째 세번째 항이 존재하게 되서 온도가 임계온도보다 낮을때 저런 관계가 존재하게 됨니다. 이 결과에서 우리는 비열(specific heat)를 알수 있게 되는데요. 

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2f}{\partial T^2} =0 \ \ ; T>T_c

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2f}{\partial T^2} =k_B\frac{T}{T_c^2}\left[\frac{9}{2}T-3T_c\right] \ \ ;T<T_c

이 부분이 책에 나와있는 식입니다. 네.. 저 식은 당연히 틀린 것입니다. 실제 계산은 다르겠죠?

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2 f}{\partial T^2} =-T\frac{8}{9}\frac{\partial f}{\partial T} \left[k_B\frac{1}{T_c^2}(T-T_c)^2+k_B\frac{T}{T^2}2(T-T_c)\right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{2}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2T}{T_c^2} \right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{4}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2T}{T_c^2} \right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{(6T-4T_c)}{T_c^2} \right]

=-k_B\frac{T}{T_c^2} \left[ \frac{16}{3}T-\frac{32}{9}T_c \right]

C_{h=0}=k_B\frac{T}{T_c^2} \left[ \frac{32}{9}T_c-\frac{16}{3}T \right] \ \ \ \ ;T<T_c

완성입니다. 

두번 미분하는게 좀 까다롭긴 하지만 생각 보다 어려운 것은 아닙니다. 결과값을 실험값과 비교해 보도록 하죠.  실험 값에는 

C_h \sim A_+\left(\frac{T-T_c}{T_c}\right)^{-\alpha} \ \ \ ; T>T_c

C_h \sim A_- \left(\frac{T_c-T}{T_c}\right)^{-\alpha} \ \ \ ; T<T_c

여기서 A는 그냥 실험적인 상수구요. 비교를 해보니까 비슷한거 같으면서 어떤부분은 많이 다르네요. 평균장 이론의 식만 본다면 비열은 상전이 점에서 연속적이지 않습니다. 우리가 대부분의 온도인 임계온도 위에서만이라도 맞춰본다면 \alpha=0 이라고 이야기 할수 있습니다. 실제값인 \alpha=0.11 과는 조금.. 머네요. 확실히 0과 그보다 조금이라도 큰값은 많이 다른 의미를 가지고 있는 것이니까요.

 

2.2절은 여기 까지네요. 생각 보다 책이 틀린 부분이 많네요. 이제 좀더 어려운 2.3절을 공부해보도록 합니다. !! 힘내시길~!

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
물리2010. 2. 9. 15:43

2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization)

이 글은 Dung-Hai Lee 교수의 critical phenomena라는 책(?), 강의노트(?)를 기반으로 스터디한 글입니다.

고수님들 틀린 부분있으면 확실하게 지적해주시기 바랍니다. ('-')/

2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization)

1장의 내용은 실험적 내용들이니 생략하고 바로 2장의 내용들로 글을 써보려고 합니다. 간간히 잘 모르겠는 1장 내용들을 써드릴테니 웬만하면 이해가 되실것입니다. 우선은 헤밀토니안을 살펴보죠. (헤밀토니안을 대체할 한국말이 떠오르지 않네요. 에너지 연산자(?)쯤 될까요?)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j

이런 형태는 외부 자기장이 없는 상태입니다. (no external magnetization)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

대부분 이런형태는 외부 자기장이 있는 경우죠. (external magnetization)

여기서 평균장 이론을 적용한 새로운 헤밀토니안을 정의해 보도록 하죠. 그런데 

\mathcal{H}=-\frac{J}{2}\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지. 

\mathcal{H}=-J\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지 조금 헤깔립니다. 정확하게 따지자면 전자가 확실히 맞는데 아무튼 후자로 나가 보도록 하죠.

\mathcal{H}=-J\sum_i\sum_j C_{i j} S_i S_j - h\sum_{i}S_i

\mathcal{H}=-\sum_i \left( J\sum_j C_{i j}S_j + h \right) S_i

여기서 괄호안의 값을 새로운 외부자기장(external magnetic field)이라고 이야기 해봄니다. 

그리고 그 외부 자기장에 스핀이 영향을 미치는 부분을 평균값으로 정리해 줍니다. (이 부분이 평균장정리 개념으로 들어갑니다.)

평균값으로 정리하면 계의 요동(fluctuation)에 해당하는 부분은 줄어듭니다. 차원(dimension)이 늘어나면 평균장 이론(mean-field theory)는 더 실제 모델과 가까워 집니다. 한개의 격자 자리(lattices point)에서 따져보면 차원이 늘어날수록 많은 스핀들이 영향을 주기 때문입니다. 

h_{eff,i}=h+J\sum_j C_{ij} <S_i>

외부 자기장이 균일한 경우에는 조금더 간단한 형태로 바꿀수가 있게 됨니다. 스핀의 기대값이 자리마다 즉 각각의 i 마다 다를게 없게 됨니다. 여기서 C_{ij}는 i와 j가 서로 이웃해 있으면 1 그게 아니면 0인 계수 입니다.

스핀의 기대값을 구해봅시다. 일종에 자화(magnetization)를 측정하는건데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}

아시는 분은 아시다 시피 이것은 분배함수(partition function) 인데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}} } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}} = \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{\beta\sum_{i}h_{eff,i}S_i } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta \sum_{i}h_{eff,i}S_i}}

이렇게 되겠죠? 앞의 합 기호들은 스핀의 up, down을 나타내는 표시고 안쪽에 합기호를 곱로 바꾸어서 아래로 내려줌니다.

= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_1S_2S_3\ldots S_N e^{\beta h_{eff,1}S_1 } e^{\beta h_{eff,2}S_2 } e^{\beta h_{eff,3}S_3} \ldots e^{\beta h_{eff,N}S_N } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,1}} e^{\beta h_{eff,2}} e^{\beta h_{eff,3}} \ldots e^{\beta h_{eff,N}}}

아.. 점점 정신이 혼미해지네요..

= \frac {\sum_{S_1}S_1 e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2}S_2 e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N}S_N e^{\beta h_{eff,N}S_N }} {\sum_{S_1} e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2} e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,N}S_N }}

= \frac{ \left(e^{\beta h_{eff,1}} - e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} - e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} - e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} - e^{-\beta h_{eff,N} } \right) } {\left(e^{\beta h_{eff,1}} + e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} + e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} + e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} + e^{-\beta h_{eff,N} } \right) }

up상태와 down상태 밖에 없으므로 

= \prod_i \frac { e^{\beta h_{eff,i}} - e^{-\beta h_{eff,i}} } { e^{\beta h_{eff,i}} + e^{-\beta h_{eff,i}}}

= \prod_i \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right)

= \left[ \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right) \right]^N (이렇게 쓰느것도 각각의 i가 다른것을 가만할때 좀 이상한거 같기도 하네요.)

약간 이상한데요. 이게 어떻게 보면 S의 모든 합인거 처럼 보이네요.  실제로 책에는 \prod_i 기호가 없습니다.. 정확한 이유는 모르겠지만 아무튼 여기까지 왓습니다.

처음에 넣었던 값을 다시 넣으면

= \tanh\beta\left(h+J\sum_j C_{ij} <S_j>\right)

전에 이야기 했듯이 C란 수는  i 와 j가 바로 옆일때만 1인 값이므로 격자에서 1차원의 경우에는 2개가 남고 2차원인 경우 4개, 3차원인 경우에는 6개가 1인 수가 되겠죠? 그래서 차원에 따라 저 값을 z로 놓습니다. z=2d (d=차원(dimension))

<S>=\tanh\beta\left(h+Jz<S>\right)

우선 h=0인 부분에서 고민을 해보도록 하죠. 

여기서  <S>=x  치환을 해보죠. 

y=x 과 y=\tanh\beta(Jzx) 의 교점을 찻아 보면은 \beta Jz <1  일때는 x=0인 지점에서만 만나고 \beta Jz >1  인 경우에는 세점에서 만나는것을 볼수 있습니다. 

세점에서 만난다는 것은 저 함수를 기술할수 있는 <S> 값이 존재 한다는 것이죠.

한점에서만 만나는 경우는 자연적은 <S>값이 없다는 것이고 <S>=0이라는 것이죠. 즉  상자성(para magnetization)입니다.

세점에서 만나는경우는 <S>=\pm m_0인 값이 존재한다는 것이고 이것은 강자성(ferro magnetization)이 되는 것입니다. 

그렇다면 \beta Jz =1  일때가 어떤 임계점(critical point)이라고 이야기 할수 있네요.

\frac{Jz}{k_B T_c} =1

여기서 임계 온도(critical temperature)를 정의 합니다. 

T_c \equiv \frac{Jz}{k_B}

우선 이번 장은 여기 까지네요. 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

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Posted by blindfish
물리2010. 1. 18. 18:00

통계역학에서 유용한 적분 팁

 학부 통계 역학을 공부하다 보면 아래와 같은 적분을 만나게 됨니다. 아마 에너지 등분배 원리 쯤이었던거 같은데..(맞나요?)
\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=?

여기서 주로 x=\frac{\hbar\omega}{k_B T} 이런식으로 치환해서 푸는 경우가 많죠.

\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}\right)dx}  [1]   

 

으로 식을 바꾸어 줍니다. 우선은 괄호안의 부분을 처리 할건데요.

\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+r^4+\ldots

이런 수열을 중고등학교때 등차수열이란 것을 배우면서 이런 식이 있다는걸 배웠죠? 이 식을 이용해서 r=e^{-x} 이라고 생각하고 풀면

\frac{1}{1-e^{-x}}=1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots

처음엔 왜 저렇게 오히려 번잡한 꼴로 바꾸나 싶지만 저기가 이 적분을 푸는 키 포인트 입니다. 이 부분을 처음 [1]식에 대입 합니다.

\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} \left(1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots \right)dx}

조금 번잡해 졌지만 이걸 다시 변형해 줍니다

=\int_{0}^{\infty}{x^2 \left(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots\right)dx}
=\int_{0}^{\infty}{x^2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-nx}}dx}

=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-nx}}dx}

적분하기 좋은 형태로 바뀌었네요. 이걸 다시 부분 적분을 합니다.

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{1}{n} x^2 e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2x}{n} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{2x}{n^2} e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2}{n^2} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3} \left[-e^{-nx} \right]_{0}^{\infty} }=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3}}=2\zeta\left(3\right)

 

네.. 결과 값은 리만 제타 함수로 나오네요. 아쉽게도 아직도 리만제타함수 3은 정확한 (수학적으로 닫힌)값이 존재 하지 않습니다.

그냥 대수적은 값일 뿐이죠. 아래 덧붙인 글은 전에 이것을 기고했을때 글입니다. 지금 보니까 틀린부분도 조금 있었네요.

물리에서 자주 나오는 적분식 입니다. 주로 통계역학에서 광자의 에너지 분포나 혹은 흑체복사이론에서 진동수에 따른 에너지 분포를 적분할때 나오는 적분인데요..; 이게 알고 보면 참 쉽죠? 고등학교 수학정도면 충분히 풀수 있는데 어려운 감마 function 같은거 쓸필요가 없습니다. 제가 처음 이 적분을 만났을때는 푸는 방법을 정말 몰라서.. 어떻게 할까 하다가 결국 컴퓨터로 numerical하게 계산했던거 생각이 나네요. 

물런 그렇게하면 정답에 근사적으로 다가갈수 있지만 신뢰할만한 것은 아니에요.. 아시다시피 무한이란게 컴퓨터로 구현하기가 어렵죠..^^;;

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
물리2010. 1. 9. 22:20

burstiness

정말 오랜만에 물리학에 관한 글을 올리는거 같습니다. 매일 seldon님의 글만 눈팅하다가.. 이래선 안되겠다는 마음으로 부족하지만 조금이라도 글을 써보려고 노력중입니다. 아직 seldon님의 글을 다 꼼꼼하게 읽지도 않았고.. 제대로 이해도 못해서 마음잡고 읽어봐야겠습니다. 우선 이번에 제가 이야기 하고 싶은 것은 특정 시계열에서 어떤 사건이 일어날때입니다. 예를 들어서 지진이 발생한다고 하면 어떤땐 긴 잠복기를 가지고 있다가 어떤때 갑자기 연속적으로 자주 발생하죠. 비도 겨울이나 긴 기간동안 비가 오지 않다가 여름한철 장마나 어떤 시기에 몇번에 나뉘서 미친듯이 쏫아져 내릴때도 있습니다. 이러한 현상들을 burst라고 이야기 하는데요. 주로 이말은 별이 폭발 할때 많이 쓰는 표현이죠. 하지만 이런 때도 burst라는 말을 사용합니다. 여기서 각각의 사건들이 발생하는 시간 간격을 특정시간 \tau 라고 하고 이것들을 그래프를 그리면 그것들의 확률밀도 합수가 멱급수 합수를 따르게 됨니다. 

P \propto \tau^{-\alpha}

여기서 \alpha 값은 현상에 따라 다른데요. 이걸 보면 확실히 각각의 게시물들간의 상관 관계가 있다고 예측을 할수 있습니다. 

우선은 그래서 이 \tau들간의 어떤 관계들이 있는 보겟는데요. 논문에선 두가지 값을 가지고 우선 그것을 가늠합니다. 

첫번째로 Burstiness를 의미 하는 B(burstiness parameter)입니다. 

B\equiv \frac{\sigma_\tau - m_\tau}{\sigma_\tau + m_\tau}

여기서 \sigma_\tau 는 시간 간격들의 표준 편차이구요. m_\tau는 시간간격들의 평균입니다. 언뜻보면 이게 burstiness랑 무슨 상관이냐.. 싶기도 하죠. 

\sigma_\tau = m_\tau 일때는 그냥 중립적인 위치라고 하죠. 이때 B=0 입니다.

\sigma_\tau = 0 일때는 표준 편차가 0이니까 모든 값들이 한 값으로 되는 delta function 형태가 됩니다. 즉.. 모든 값이 한가지 값만을 가진게 되죠. 이것은 시간간격이 그렇다는 것이기 때문에 이 사건들은 상당히 주기적으로 나타납니다. 심작박동 같은 것들이 그렇다고 볼수 있죠.  이 때는  B=-1입니다. 

 \sigma_\tau \gg m_\tau 일때는 B=1이되고 burstiness가 존재하게 됩니다.......

실제로 시간간격에 대해서 그림을 그려가면서 해보면 확실하게 이해가 됨니다. 그림도 올려드리고 싶은데.. 논문에 있는것이라.. 혹시나 저작권 문제가 될까 걱정이되서 올리기가 꺼려지네요..ㅠ_ㅠ 혹시 아시는 분은 답변좀 달아주세요.

다음으로 기억효과라는 개념이 나옴니다. 

M= \frac{1}{n_\tau - 1} \sum_{i=0}^{n_\tau -1} \frac{(\tau_{i+1} - m_1)(\tau_i -m_2)}{\sigma_1 \sigma_2}

인접한 사건들의 상관관계를 알아 보는건데요. 보면 대충 표준편차의 표준편차를 구한다는 그런 느낌입니다. 여기서 1,2 로 구분해놨는데 실제로 자기자긴을 한다면 1이든 2든 같은걸로 쓰면 자기자신의 상관관계를 알수 있겠죠?(autocorrelation). 그렇게 하여 처음사건과 바로 다음에 일어나는 사건이 어떤 관계인지를 알수 있게 됨니다. 

이 두가지를 가지고 고광일 교수님과 바라바시의 논문에서는 현상을 분석했는데요. 우선 이 시간간격들을 가지고 그래프를 그려보면 재밋는 것들을 알수 있습니다. 가장 작은 시간을 앞으로 보내고 큰 시간들을 x축의 뒤쪽으로 보내면 어떤 감쇠함수형태를 가지는데요. 여기서 이 메일을 보내는 패턴은 멱급스함수, 특정단어들이 등장하는 글자간격으로 그리면 지수함수를 따르고 심장박동은 특정 한 시간간격에 집중되는 형태의 delta-function(딱히 한국말이 없네요.ㅠ_ㅠ)형태를 지니게 됨니다. 그 다음으로 이런 사건들의 B,M을 구해서 그래프를 그려보면 (M,B diagram 이라고 하는데 이름이 맘에 안듬니다..-_-) 재밋는 모여있는 형태들이 나옵니다.

 

우선 인간행동패턴, 여기서는 이메일은 보내는 패턴이나 휴대전화가입신청, 도서관에서 책을 빌리는 시간간격등을 계산해 보았는데요.  M=0인 결과를 볼수 있습니다. 기억효과가 거의 없는거죠. 바로 전 사건과 다음 사건은 아무런 연관이 없다는 것입니다. 그리고 몇몇 행동에서는 B가 상당히 큰 부분들이 있습니다. 그러니까 사건들이 몰아서 일어나는 경우가 있다는 이야기 입니다. 이에 비해 자연현상들은 어느정도 일차함수 방향으로 점이 찍히는데요. 일본에서 일어나는 지진이나 뉴멕시코주에 강수같은 경우에는 기억효과도 burstiness도 어느정도 존재한다는 것을 말해줍니다. 그리고 글의 경우에는 둘다 0에 가까워서 기역효과도 특정단어가 연이어 나오는 일도 없습니다.  최근 연구 결과로는 인터넷 계시판에 글이 올라오는 시간간격에도 확실한 burstiness가 존재하고 그것을 연구하시는 분도 계시고 저희 그룹도 이것에 관심이 많습니다. 

 

더 많은 재밋는 이야기와 고민들이 많은데 우선은 연구실 일들이라 편하게 이야기 하기는 어렵네요.. ^^

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish

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