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일상/일기2010.01.22 21:03

요즘 연구실에 일구형의 추천으로 리만가설이라는 책을 보고 있습니다. 원래 수학엔 좀 문외한인데다가 물리외에 웬만하면 수학을 공부하지 말자는 주의 였는데 위상기하학(topology)라는 말을 귀에 박히도록 듣게면서 부터 이거 정말 모르고는 안돼겠다는 생각이 들었습니다. 그래서 앞으로 이 리만 가설이란 책을 바탕으로 해서 물리학을 공부하는 학부생이나 공대생들이 보았을 경우에 무리없이 이해 될만한 내용으로 리만가설 이야기를 해보려고 합니다. 혹시 지나가는 수학과 학생이나 교수님들은 틀린부분이 있으면 좋은 지적 해주시면 감사하겠습니다. 

 

리만 가설

제타 함수 \zeta function의 자명하지 않은(non-trivial) 모든 근들(zeros)은 실수부가  \frac{1}{2} 이다. 

 

리만 제타 함수 

\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\ldots

\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}

 

우선 처음 부분에는 급수이야기와 급수의 합에 대한 이야기가 많이 나오는데요. 대부분은 조화급수, 교대급수 같은것들은 모두 아시리라 생각하고 그냥 넘어 가겠습니다. 

아시다 시피 조화급수는

\left( 1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \ldots \right)

발산하고 이를 제외한 웬만한 감소하는 급수들은 수렴한다는것이 많이 알려져 있습니다. (예: 교대급수)
우선 소수에 관한 이야기를 먼저 해야하는데요. 소수라고 하면 모두들 알고 계시듯이 1과 자기자신을 제외한 어떤수로 나누어도 나누어 떨어지지 않는 수를 의미 합니다. 소수의 가장큰 문제는 소수를 명확하게 기술할만한 뚜렷한 규칙이 없다는 것인데요. 우선은 소수의 갯수부터 확인해 보죠. 

N N보다 작은 소수의 갯수
1,000 168                                                                                       
1000,000 78,498
1,000,000,000 50,847,534
1,000,000,000,000 37,607,912,018
1,000,000,000,000,000 29,844,570,422,669
1,000,000,000,000,000,000 24,739,954,287,740,860

 

이런 식으 되네요. 딱봐도 여전히 전혀.. 규칙을 찻을 수가 없습니다. 일단은 이런 관계의 함수 \pi(N)을 정의 해 보도록 하죠.

\pi(N)=N보다 작은 소수의 개수 라고 합니다. 이를 소수 계랑 함수(Prime Counting Function)이라고 부릅니다. 

여기서 \frac{N}{\pi(N)} 이런 값을 생각해 보도록 해봅시다. 이 값을 나열 해보면 대락 사이즈가 커짐에 따라 일정한 증가폭을 가지고 있는데요. 

N N/\pi(N)
1,000 5.9526                                                                                 
1,000,000 12.7393
1,000,000,000 19.6666
1,000,000,000,000 26.5901
1,000,000,000,000,000 33.5069
1,000,000,000,000,000,000 40.4204

 

N이 커질수록 약 6.7에서 7 간격으로 점점 커지는 것을 확인 할수 있습니다. 이것만 해도 상당히 흥미로운 결과인데요. 그래도 완전히 막막하던 차에 어느정도 뭐가뭔지 알수 있게 되었네요. 그런데 딱보면 물리학이나 수학을 하는 사람이라면 이런 수의 증가가 어떤것하고 상당히 닮아 있다는것을 알수 있습니다. 예.. 로그함수와 닮아 있죠. N이 매우 클때 

\frac{N}{\pi(N)}\sim \ln{N}

라는 것을 알수 있습니다. 

\pi(N) \sim \frac{N}{\ln{N}}

결국 N이 상당히 클때 소수의 갯수는 위와 같을 것이라는 결론을 낼수 있는데요. 

다시 리만 제타 함수를 봐보도록 하죠.

\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\ldots

우선 여기서 양변에 \frac{1}{2^s} 을 곱해보도록 하죠.  

\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}++\frac{1}{8^s}+\ldots

여기서 위식에서 아래식을 빼줌니다.

\zeta\left(s\right)-\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta\left(s\right)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\ldots

 

다시 리만 제타 함수에 \frac{1}{3^s}을 양변에 곱해주고 바로위의 \left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta\left(s\right) 에다가 빼주면서 또  2와 3의 공배수인 6으로된  \frac{1}{6^s}를 리만 제타 함수에서 곱해주고 다시 위식에서 빼주면

\zeta\left(s\right)-\frac{1}{2^s}\zeta\left(s\right)-\frac{1}{3^s}\zeta\left(s\right)-\frac{1}{6^s}\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\zeta\left(s\right) =1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\ldots

소수들의 s승을 계속 곱하면서 빼나가면 이런식으로 계속 묶을수가 있고 아래와 같이 정리 할수 있을것입니다. 

\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\ldots \zeta\left(s\right)=1

우리가 알고 싶은건 제타 함수이므로 제타함수를 남기고 나머지를 우변으로 이항 시킵니다. 

\zeta\left(s\right)=\left(1-\frac{1}{2^s}\right)^{-1} \left(1-\frac{1}{3^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{5^s}\right)^{-1}\left(1-\frac{1}{7^s}\right)^{-1}\ldots

분수는 보기가 힘드니 -1승으로 처리 했습니다. 저기 s들도 분수로 있으니 더 간편하게 보이게 해보죠.

\zeta\left(s\right)=\left(1-2^{-s}\right)^{-1} \left(1-3^{-s}\right)^{-1}\left(1-5^{-s}\right)^{-1}\left(1-7^{-s}\right)^{-1}\ldots

한층 보기가 편해 졌네요.  더 간단한 형태로 만들기 위해서 \prod라는 기호를 사용할것입니다. 이것은 아시다 시피 \sum과 비슷한 기호인데 덧셈대신 곱셈을 나타내주는 기호 입니다.

\zeta\left(s\right)=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

여기서 p는 2부터 무한대까지의 모든 소수를 의미합니다. 

\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^s}}=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

위의 식을 다시 상기해 보면 위와 같은 식이 탄생하게 되는데요. 리만 제타 함수가 위와 같은 두가지 형태로 기술되게 됨니다. 리만 가설이란 책에서는 이 식을 황금열쇠라고 부르더군요.

 

황금 열쇠(Golden Key)

\sum_{n}{n^{-s}}=\prod_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1}

n은 모든 정수를 의미하고 p는 모든 소수를 의미 합니다.

 

휴... 여기가지 정리 했네요.. 오늘은 여기까지만 하고 다음에 또 더 써보도록 하겠습니다. 

 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish

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  1. 위에 보면 소수들의 곱형태로 리만 제타 함수가 같다는 것을 알수 있는데요. 전반부에 이야기한 소수에 대한 기술들로 나중에이 부분에 대해서 정확한 답들을 찻아내보도록 하겠습니다.

    2010.01.22 21:41 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
  2. 야 이거 물리학을 위한 수학이야 아님 수학을 위한 수학이야 아님 수학을 위한 수학에 의한 수학이야? -_-

    2010.01.25 11:21 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 원래는 리만 제타 함수가 뭔지 궁금해서 시작하게 된건데;;
      머 거의 수학이 주류를 이루어 버리게 되었구만..
      별수 없지머;;ㅠ_ㅠ 근데 확실히 재밋긴 하니깐..ㅋ
      알아두면 좋을걸세.. topology를 알고 싶은데..ㅠ_ㅠ

      2010.01.25 13:35 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
    • ㅋㅋㅋㅋㅋ

      2010.01.27 01:49 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  3. brent

    오일러 곱셈공식 이라고 하시는게 더 좋을 것 같네요.. 황금열쇠는.. ㅡ.ㅡ 책쓰신분이 멋지게 보이려고 쓰신 말인 듯..

    2011.12.16 17:33 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]