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  1. 2010.02.09 2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization) (3)
물리2010.02.09 15:43

이 글은 Dung-Hai Lee 교수의 critical phenomena라는 책(?), 강의노트(?)를 기반으로 스터디한 글입니다.

고수님들 틀린 부분있으면 확실하게 지적해주시기 바랍니다. ('-')/

2.1 자발적 자화(The spontaneous magnetization)

1장의 내용은 실험적 내용들이니 생략하고 바로 2장의 내용들로 글을 써보려고 합니다. 간간히 잘 모르겠는 1장 내용들을 써드릴테니 웬만하면 이해가 되실것입니다. 우선은 헤밀토니안을 살펴보죠. (헤밀토니안을 대체할 한국말이 떠오르지 않네요. 에너지 연산자(?)쯤 될까요?)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j

이런 형태는 외부 자기장이 없는 상태입니다. (no external magnetization)

\mathcal{H}=-J\sum_{<ij>}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

대부분 이런형태는 외부 자기장이 있는 경우죠. (external magnetization)

여기서 평균장 이론을 적용한 새로운 헤밀토니안을 정의해 보도록 하죠. 그런데 

\mathcal{H}=-\frac{J}{2}\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지. 

\mathcal{H}=-J\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

이렇게 시작하는지 조금 헤깔립니다. 정확하게 따지자면 전자가 확실히 맞는데 아무튼 후자로 나가 보도록 하죠.

\mathcal{H}=-J\sum_i\sum_j C_{i j} S_i S_j - h\sum_{i}S_i

\mathcal{H}=-\sum_i \left( J\sum_j C_{i j}S_j + h \right) S_i

여기서 괄호안의 값을 새로운 외부자기장(external magnetic field)이라고 이야기 해봄니다. 

그리고 그 외부 자기장에 스핀이 영향을 미치는 부분을 평균값으로 정리해 줍니다. (이 부분이 평균장정리 개념으로 들어갑니다.)

평균값으로 정리하면 계의 요동(fluctuation)에 해당하는 부분은 줄어듭니다. 차원(dimension)이 늘어나면 평균장 이론(mean-field theory)는 더 실제 모델과 가까워 집니다. 한개의 격자 자리(lattices point)에서 따져보면 차원이 늘어날수록 많은 스핀들이 영향을 주기 때문입니다. 

h_{eff,i}=h+J\sum_j C_{ij} <S_i>

외부 자기장이 균일한 경우에는 조금더 간단한 형태로 바꿀수가 있게 됨니다. 스핀의 기대값이 자리마다 즉 각각의 i 마다 다를게 없게 됨니다. 여기서 C_{ij}는 i와 j가 서로 이웃해 있으면 1 그게 아니면 0인 계수 입니다.

스핀의 기대값을 구해봅시다. 일종에 자화(magnetization)를 측정하는건데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}

아시는 분은 아시다 시피 이것은 분배함수(partition function) 인데요. 

<S_i>=\frac{Tr\left[S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf} } \right]}{Tr\left[e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}\right]}= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}} } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{-\beta \mathcal{H}_{mf}}} = \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_i e^{\beta\sum_{i}h_{eff,i}S_i } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta \sum_{i}h_{eff,i}S_i}}

이렇게 되겠죠? 앞의 합 기호들은 스핀의 up, down을 나타내는 표시고 안쪽에 합기호를 곱로 바꾸어서 아래로 내려줌니다.

= \frac {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} S_1S_2S_3\ldots S_N e^{\beta h_{eff,1}S_1 } e^{\beta h_{eff,2}S_2 } e^{\beta h_{eff,3}S_3} \ldots e^{\beta h_{eff,N}S_N } } {\sum_{S_1}\sum_{S_2}\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,1}} e^{\beta h_{eff,2}} e^{\beta h_{eff,3}} \ldots e^{\beta h_{eff,N}}}

아.. 점점 정신이 혼미해지네요..

 = \frac {\sum_{S_1}S_1 e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2}S_2 e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N}S_N e^{\beta h_{eff,N}S_N }} {\sum_{S_1} e^{\beta h_{eff,1}S_1 }\sum_{S_2} e^{\beta h_{eff,2}S_2 }\ldots\sum_{S_N} e^{\beta h_{eff,N}S_N }}

 = \frac{ \left(e^{\beta h_{eff,1}} - e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} - e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} - e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} - e^{-\beta h_{eff,N} } \right) } {\left(e^{\beta h_{eff,1}} + e^{-\beta h_{eff,1} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,2}} + e^{-\beta h_{eff,2} } \right)\left(e^{\beta h_{eff,3}} + e^{-\beta h_{eff,3} } \right) \ldots \left(e^{\beta h_{eff,N}} + e^{-\beta h_{eff,N} } \right) }

up상태와 down상태 밖에 없으므로 

 = \prod_i \frac { e^{\beta h_{eff,i}} - e^{-\beta h_{eff,i}} } { e^{\beta h_{eff,i}} + e^{-\beta h_{eff,i}}}

 = \prod_i \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right)

 = \left[ \tanh\left(\beta h_{eff,i}\right) \right]^N (이렇게 쓰느것도 각각의 i가 다른것을 가만할때 좀 이상한거 같기도 하네요.)

약간 이상한데요. 이게 어떻게 보면 S의 모든 합인거 처럼 보이네요.  실제로 책에는 \prod_i 기호가 없습니다.. 정확한 이유는 모르겠지만 아무튼 여기까지 왓습니다.

처음에 넣었던 값을 다시 넣으면

 = \tanh\beta\left(h+J\sum_j C_{ij} <S_j>\right)

전에 이야기 했듯이 C란 수는  i 와 j가 바로 옆일때만 1인 값이므로 격자에서 1차원의 경우에는 2개가 남고 2차원인 경우 4개, 3차원인 경우에는 6개가 1인 수가 되겠죠? 그래서 차원에 따라 저 값을 z로 놓습니다. z=2d (d=차원(dimension))

 <S>=\tanh\beta\left(h+Jz<S>\right)

우선 h=0인 부분에서 고민을 해보도록 하죠. 

여기서  <S>=x  치환을 해보죠. 

y=x 과 y=\tanh\beta(Jzx) 의 교점을 찻아 보면은 \beta Jz <1  일때는 x=0인 지점에서만 만나고 \beta Jz >1  인 경우에는 세점에서 만나는것을 볼수 있습니다. 

세점에서 만난다는 것은 저 함수를 기술할수 있는 <S> 값이 존재 한다는 것이죠.

한점에서만 만나는 경우는 자연적은 <S>값이 없다는 것이고 <S>=0이라는 것이죠. 즉  상자성(para magnetization)입니다.

세점에서 만나는경우는 <S>=\pm m_0인 값이 존재한다는 것이고 이것은 강자성(ferro magnetization)이 되는 것입니다. 

그렇다면 \beta Jz =1  일때가 어떤 임계점(critical point)이라고 이야기 할수 있네요.

\frac{Jz}{k_B T_c} =1

여기서 임계 온도(critical temperature)를 정의 합니다. 

T_c \equiv \frac{Jz}{k_B}

우선 이번 장은 여기 까지네요. 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish

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  1. 비밀댓글입니다

    2010.02.09 16:05 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]
    • 등록해 두었습니다~
      틀린 부분 있으면 수정해 주시면 감사하겠습니다.^^

      2010.02.09 21:56 신고 [ ADDR : EDIT/ DEL ]
  2. 비밀댓글입니다

    2016.03.17 16:43 [ ADDR : EDIT/ DEL : REPLY ]