물리2010. 1. 18. 18:00

통계역학에서 유용한 적분 팁

 학부 통계 역학을 공부하다 보면 아래와 같은 적분을 만나게 됨니다. 아마 에너지 등분배 원리 쯤이었던거 같은데..(맞나요?)
\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=?

여기서 주로 x=\frac{\hbar\omega}{k_B T} 이런식으로 치환해서 푸는 경우가 많죠.

\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x-1}dx}=\int_{0}^{\infty}{\frac{x^2}{e^x}\left(\frac{1}{1-e^{-x}}\right)dx}  [1]   

 

으로 식을 바꾸어 줍니다. 우선은 괄호안의 부분을 처리 할건데요.

\frac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+r^4+\ldots

이런 수열을 중고등학교때 등차수열이란 것을 배우면서 이런 식이 있다는걸 배웠죠? 이 식을 이용해서 r=e^{-x} 이라고 생각하고 풀면

\frac{1}{1-e^{-x}}=1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots

처음엔 왜 저렇게 오히려 번잡한 꼴로 바꾸나 싶지만 저기가 이 적분을 푸는 키 포인트 입니다. 이 부분을 처음 [1]식에 대입 합니다.

\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} \left(1+e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots \right)dx}

조금 번잡해 졌지만 이걸 다시 변형해 줍니다

=\int_{0}^{\infty}{x^2 \left(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+\ldots\right)dx}
=\int_{0}^{\infty}{x^2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-nx}}dx}

=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{x^2 e^{-nx}}dx}

적분하기 좋은 형태로 바뀌었네요. 이걸 다시 부분 적분을 합니다.

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{1}{n} x^2 e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2x}{n} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\left[ -\frac{2x}{n^2} e^{-nx}\mid_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty}{\frac{2}{n^2} e^{-nx}}dx \right] }

=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3} \left[-e^{-nx} \right]_{0}^{\infty} }=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2}{n^3}}=2\zeta\left(3\right)

 

네.. 결과 값은 리만 제타 함수로 나오네요. 아쉽게도 아직도 리만제타함수 3은 정확한 (수학적으로 닫힌)값이 존재 하지 않습니다.

그냥 대수적은 값일 뿐이죠. 아래 덧붙인 글은 전에 이것을 기고했을때 글입니다. 지금 보니까 틀린부분도 조금 있었네요.

물리에서 자주 나오는 적분식 입니다. 주로 통계역학에서 광자의 에너지 분포나 혹은 흑체복사이론에서 진동수에 따른 에너지 분포를 적분할때 나오는 적분인데요..; 이게 알고 보면 참 쉽죠? 고등학교 수학정도면 충분히 풀수 있는데 어려운 감마 function 같은거 쓸필요가 없습니다. 제가 처음 이 적분을 만났을때는 푸는 방법을 정말 몰라서.. 어떻게 할까 하다가 결국 컴퓨터로 numerical하게 계산했던거 생각이 나네요. 

물런 그렇게하면 정답에 근사적으로 다가갈수 있지만 신뢰할만한 것은 아니에요.. 아시다시피 무한이란게 컴퓨터로 구현하기가 어렵죠..^^;;

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish

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