음악2010. 3. 22. 23:19

카이스트 애가

제가 윷놀이 포스팅 한게 너무 힘들었어서 웬만하면 다른 포스팅 안하고 이걸로 먹고 살아 볼라고 했는데..
정말 대박인 동영상을 발견하고 말았습니다..ㅠ_ㅠ


가사가 정말 절절하네요..ㅠ_ㅠ 이럴수가 없어요..ㅋㅋ 이공계사람들은 모두 공감할수 있는 내용입니다..
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Posted by blindfish
물리2010. 3. 22. 18:23

윷놀이에 대한 수학적, 물리학적 고찰

학부 통계물리시간에 교수님께서 재밋는 이야기를 해주시면서 다음과 같은 문제에 도전해 보라고 이야기 하셨습니다. 다름이 아닌 윷놀이에 대한 것인데요. 

 

윷이 뒤집어진 경우에는 \cup 이런 모양일거고, 실험적으로 확률은 0.6 정도 된다고 하네요. 반대로 덥혀있는 모양 \cap 인 경우에는 0.4 정도의 확률을 가진다고 합니다. 이때 교수님이 제시한 문제는 다름아닌 윷 놀이를 할때 한번 던졌을때 말이 전진하는 기대값이 얼마냐는 것입니다. (계산이 너무 복잡해지는 것을 막기위해 빽도는 빼는걸로 합니다. )

자.. 언듯 보면 쉬운 문제지만.. 아주 어려움 부분은 모나 윷이 나오면 한번 더 던질 수 있다는 것입니다. 이게 정말 문제를 급격하게 어렵게 만듭니다. 이것때문에 뭔가 풀릴듯 안풀릴듯 하는 느낌 때문에 밤늦도록 잠도 못 자보건 오랜만에 일이었습니다. 슬슬 풀이로 넘어가 보도록 하죠. 우선 제가 풀었던 방법이 있는데 기발하긴 했으나 깔끔하지 않았고 '모'에서 한번 더 던지는 부분이 오류가 심해서 그냥 버리도록 하죠.(뭔가 아깝네요..ㅠ_ㅠ) 우선 교수님의 솔루션입니다.

 

각각의 수들을 인덱스 형태로 나타내 보도록 하죠. 

a_1=1 \\ a_2=2 \\ a_3=3 \\ b_4=4 \\ b_5=5

 

우선 a, b는 말이 나왔을때 움직일수 있는 거리입니다. 도, 개, 걸, 윷, 모 라고 하죠. 윳과 모는 한번 더 던질때 계산이 달라지기 때문에 b라고 표기 했습니다. 다음으로

P_1=\phantom{}_{4} C_{0}(0.4)^4 \\ P_2=\phantom{}_{4} C_{1}(0.4)^3 (0.6) \\ P_3=\phantom{}_{4} C_{2}(0.4)^2(0.6)^2 \\ P_4=\phantom{}_{4} C_{3}(0.4)(0.6)^3 \\ P_5=\phantom{}_{4} C_{4}(0.6)^4

의 확률값을 가지게 됨니다. 이것은 마치 

(0.4+0.6)^4

의 각항들을 표시해놓은 것이라고 할수 있죠. 

 

그렇다면 윷을 한번만 던질때 기대값은 얼마일까요?

(0) \ \ \ a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3

대충 이런 느낌이 되네요. 두번은

(1) \ \ \ (a_1+b_4)P_1P_4+(a_2+b_4)P_2P_4+(a_3+b_4)P_3P_4\ (a_1+b_5)P_1P_5+(a_2+b_5)P_2P_5+(a_3+b_5)P_3P_5

이런식의 두가지 형태를 가지게 됨니다. 한번은 윷이 

(2) \ \ \ (a_1+2b_4)P_1P_4^2+(a_2+2b_4)P_2P_4^2+(a_3+2b_4)P_3P_4^2\\ (a_1+2b_5)P_1P_5^2+(a_2+2b_5)P_2P_5^2+(a_3+2b_5)P_3P_5^2 \\2\left[(a_1+b_4+b_5)P_1P_4P_5\right]+2\left[(a_2+b_4+b_5)P_2P_4P_5\right]+2\left[(a_3+b_4+b_5)P_3P_4P_5\right]

세번 던질때는 이런 기대값을 따르겠네요. 미리 이야기 하는 것이지만 각 줄들을 다 합해야 기대값이 됨니다. 그리고 (2)에서 마지막 줄에서는 윷이 먼저 나올수도 있고 모가 먼저 나올수도 있기때문에 저런식으로 표시했습니다. 

벌써부터 보며서 조금씩 규칙성을 찻을수 있네요. 

인덱스 1,2,3 은 따로 빼보도록 하죠.

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}(a_i+2b_4)P_iP_4^2\\ +\sum_{i=1}^{3}(a_i+2b_5)P_iP_5^2\ +2\sum_{i=1}^{3}\left[(a_i+b_4+b_5)P_iP_4P_5\right]
많이 간단한 모양이 됬네요. 

이항 전개방식으로 바꾸어 보도록 하죠. 우선 a 와 b부분을 분리해보도록 합시다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i P_4^2+\sum_{i=1}^{3}2b_4 P_iP_4^2\\ +\sum_{i=1}^{3}a_iP_iP_5^2+\sum_{i=1}^{3}2b_5P_iP_5^2\ +\sum_{i=1}^{3}2a_iP_iP_4P_5+\sum_{i=1}^{3}2b_4P_iP_4P_5+\sum_{i=1}^{3}2b_5P_iP_4P_5\right]

이향 전개 형식으로 묶습니다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i (P_4+P_5)^2 +\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2
이것은 위의 식과 전혀 같지가 않습니다. 일단은 인수 분해 한다는 마음으로 묶어 준것인데, 앞에  a에 관한 항은 정확하게 맞지만 뒤의 항은 뭔가 꺼림직 하지요.

완전히 다른 것이지만.. 우선 이런식으로 써줌으로서, 좀 중간에 생각하면서 쉴 여유를 만든후에 미분이라는 개념을 도입합니다. 

(2) \ \ \ \sum_{i=1}^{3}a_i P_i (P_4+P_5)^2 +\frac{\partial}{\partial b_4}\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2 +\frac{\partial}{\partial b_5}\sum_{i=1}^{3}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^2
네.. 위를 전개해서 미분하면 분명히 전전식의 결과와 완벽하게 일치 합니다. 2차 이상의 항에서도 이와 같을가요?

글을 읽는 사람들은 누구나 의심해보는 일이지만 직접해보면 완벽하게 같다는 것을 알수 있습니다. 
자 그럼 모든 n에 대해서 합을 해보도록 합시다.

\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}\left[a_i P_i (P_4+P_5)^n +\frac{\partial}{\partial b_4}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^n +\frac{\partial}{\partial b_5}P_i(b_4P_4+b_5P_5)^n\right]

이런 모양이 됬네요. 가장 간단한 모양입니다. 미분을 실제로 해보도록 하죠. 

\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}\left[a_i P_i (P_4+P_5)^n +nP_iP_4(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1} +nP_iP_5(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1}\right]<x>=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=1}^{3}P_i\left[a_i (P_4+P_5)^n +n(P_4+P_5)(b_4P_4+b_5P_5)^{n-1} \right]

자.. 결국엔 완성이네요.. i와 n을 제외한 모든 값들은 상수 값입니다. 그리고 P들은 다 1보다 작은 값들이네요. 

하지면 여기선 문제가 하나 있습니다. 뭐나면 바로 
\sum_{n=0}^{\infty}nk^{n-1}

이런 꼴의 합이 존재하는거죠. k는 1보다 많이 작은 값이 됨니다. 하지만 결정적인 문제는 저런 급수합이 대수적(analytic)으로 풀이가 없습니다. ㅠ_ㅠ

적어도 제가 아는 중에는 풀이 방법을 모르겠는데 고수님들 혹시 아시는 분 있으시면 알려주세요~
메스메디카로 돌려본 답은 3.2759입니다. 웃긴건 항을 약간 전개해주면 2.2이 나온다는 건데요. 중간에 뭔가 알고리즘상의 하자로 인해서 값이 이상하게 나오는거 같습니다. 

다음으론 후배들이 만들어낸 아주 간단한 풀이법입니다. 수식 자체가 자기유사성(self similarity )을 가지는 플렉탈 구조이기 때문에 간단하게 풀수 있죠. 하지만 개념을 이해하기가 쉽지가 않습니다. 처음 식으로 돌아가보도록 하죠. 

여기서 \phi는 거리의 기대값<x>이라고 하죠. 

\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4\ldots+b_5P_5\ldots

딱 보면 기대값은 이런식의 값을 가지게 될것입니다. 하지만 우리는 여전히 윷이나 모가 나왔을때 어떤 일이 일어날지는 모르는거죠. 하지만 하나 확실한건 윷이나 모가 나온후에 다시 던진다는 것이고 윷이나 모가 나오면 확실하 4칸이나 5칸을 이동하는 것입니다. 그렇다면 이런식으로 바꾸어 쓸수 있습니다. 
\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+P_4(b_4+\phi)+P_5(b_5+\phi)

언뜻 이해가 되지 않을지도 모릅니다. 저도 이해하는데 한참 걸렸죠. 다시 한번 던칠 확률 자체가 윷과 모가 나올 확률과 동일해지는 것입니다. 그리고 다시 던지는 경우에는 확실하게 4칸이나 5칸이 진행이 되서 b옆에 확률 1이 곱해지는 것입니다. 정말 간단한 식이니 정리 해보도록 하죠.
(1-P_4-P_5)\phi=a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4+b_5P_5

\phi=\frac{a_1P_1+a_2P_2+a_3P_3+b_4P_4+b_5P_5}{1-P_4-P_5}

 

이 식의 값은 2.99242입니다. 아래 시뮬레이션한 프로그램의 값이랑 정확하게 일치하는 값이네요. 이것을 푼 메스메디카 소스도 첨부 하도록하죠.  yut(1).nb

아래 소스코드는 C로 짠 시뮬레이션 코드 입니다. 무쟈게 짧아서 좋습니다. TRY를 수정해 가면서 해보세요. 1억번은 좀 심하긴 하죠..

 

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<time.h>

#define TRY 100000000

 

int yut(int x);

 

int main(void)

{

        int i;

        int x=0;

        int total=0;

 

        srand(time(NULL));

 

        for(i=0; i<TRY; i++)

        {

                x=0;

                total+=yut(x);

        }

 

        printf("%lf\n", (double)(total)/(double)TRY );

 

        return 0;

}

 

int yut(int x)

{

        int i;

        int number=0;

        double direct;

 

        direct=(double)rand()/(RAND_MAX+1.0);

 

        for(i=0; i<4; i++)

        {

                if( direct > 0.4)

                {

                        number++;

                }

                direct=(double)rand()/(RAND_MAX+1.0);

        }


        if(number==0)

                x=yut(x+5);

        else if(number==4)

                x=yut(x+4);

        else if(number==1)

                x=x+1;

        else if(number==2)

                x=x+2;

        else if(number==3)

                x=x+3;


        return x;

}

 

 

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish
컴퓨터/mac2010. 3. 9. 11:38

애플의 매직 마우스


얼마전에 연구실에서 단체로 구입한 애플의 매직 마우스입니다.

우선 터치 패드처럼 마우스 윗면을 쓸수 있다는게 큰 장점이네요...

스크롤도 자유롭고 터치에 따라서 몇가지 기능들도 추가 되있습니다..

그리고 이 심플한 디자인이 가장 맘에 드네요..

단점으로는 조금 무서운 느낌이 없지 않아 있지만..

전체적인 편의점을 생각해봤을땐 혁신적이라고 할만 합니다. 

맥북을 써서 그런지 더 쓰기 편한거 같기도 하네요.
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Posted by blindfish
책2010. 3. 7. 22:47

Herd on the street

Unfortunately we are unable to provide accessible alternative text for this. If you require assistance to access this image, or to obtain a text description, please contact npg@nature.com

물리학자들은 3체 운동 이상은 풀수가 없다. (적어도 손으로는 못푼다. ) 그러면 우리는 두가지 이상의 물체에 대해서 어떻게 풀것인가? 예를 들어 교통 흐름이나 질병의 확산 혹은 최고의 비서를 구하는것 등등..  그리고 만약 시스템이 완전히 개개로 떨어져 있지 않을때는 뭘할수 있을까? 복잡성의 과학은 이런 문제를 좀더 포함하고 있다. Len Fisher는 그안에 놓여있는 간단한 규칙과 약간의 직관들 그외의 복잡한 행동들을 다루는 것들에 대해 중점으 두고 있다. 
"완변학 군집"의 소개글은 내가 읽은 것들중 가장 길다. "스타워즈가 흥행했을때 97마리의 매뚜기 떼가 앉아서 영화를 봤다. " 당연히 나는 무슨일이 일어나는지 읽어봐야헸다. 매뚜기들이 '포스'를 느꼈나??-_-;; 나중에 Fisher는 연구결과를 밝혔다. 두 과학자 (그들의 업적으로 이그 노벨상을 타게됐다.) 장소에 있는 메뚜기들을 수정하고 매뚜기 머리에 있는 전극을 달았다. 그리고 우주선이 스크린을 지나갈때 신경활동을 기록했다. 다가오는 물체는 멀어지는 물체보다 더 큰 전기적 반응을 주는 원인이 되었다. 그들은 정말로 포스를 느끼는 것이다. 날게 되었을때, 매뚜기들은 그들의 약한 날개를 감추고 물체가 옆에서 다가올때 미끄러지듯이 활주를 하면서 나아간다. 그래서 그것이 그들이 충돌을 피하는 방법이다. 그들의 군집은 리더가 없고 주로 바람을 따른다. 그러나 각각의 구성원들은 그들의 바로 근처에 있는 이웃들과 함게 간단하게 움직이면 무리는 딱 달라붙고 민감하게 포식자에게서 머무른다. 떼 지성은 간단하게 만들어진다. 
인간이 이런 곤충과 동물들의 집당 행동을 배울수 있을까? 물런 배울수 있다. 혼잡한 인도에서 보행자는 일반적으로 반대방향으로의 흐름에 자기 조직화를 한다. 그것은 흐름과 같이 가는 가장 좋은것이다. 시뮬레이션과 관측 둘다 짜여짐이 필요하지 않는 다는 것을 보여준다.그러나 Fisher는 우리가 군중을 잘 조정할수 있다는것을 설명하고 있다. 20명의 친구들을 중간정도 붐비는 길에서 지역적인 밀도를 증가시키는 것으로 보였다. 그의 집단은 다른 보행자들을 하나로 묶는 사람들의 행이 생기는것을 관리했다. 그러나 밀도가 증가하자 움직이던 줄들이 정지했다. 
좁은 공간에서 혼란은 정체된 군중으로 쉽게 퍼질수있다. 종종 비극적인 결과와 한께 나타날수도 있다. 2006년에 346명의 순례자가 메카에서 충돌되어서 죽었다. 비디오 분석 결과 1.5 피트당 한 사람의 임계밀도를 넘어선것오로 드러났다. 각각의 사람들은 군중과 함께 갈수 밖에 없었다. 이러한 군중이 각각 상대적인 힘의 고리를 창조 하고  각각의 군중들을 가로막고 상대적으로 다른 속도와 방향으로 움직이게 한다. 왜냐하면 스트레스 해소는 예측할수 없다. 전체 사람들의 군집이 갑자기 떨어질수도 있고 거기에는 분명한 이유조차도 없다. 
그 속임수는 첫 장소에서 이러한 군중이 만들어지는 것을 막는다. 그러나 만약 너가 군중을 빠져 나갈 방법을 찻는다면, 왜 복잡한 전문가들은 우리가 해야한다고 말하는 것일까? Fisher는 우리는 시간의 60%는 군중과 함께 가고 시간의 40%는 자주적으로 가야 한다고 설명한다. 이러한 이유는 만약에 당신이 단지 군중과 함게 움직이면 모든 사람들은 한나의 비상구들을 향해서 갈것이다. 그리고 너가 자신의 의지로만 움직이려 한다면, 너는 탈출구를 랜덤하게 찻을 것이다. 만약에 건물에 불이 나면, 그리고 내가 출입구에 익숙하지 않다면 나는 군중을 따르는 60%가 될지도 모른다. 좀더 유용한건 만약에 거기에 어떤 위험이 있으면 즉시 행동하는 그의 충고이다. 911테러에서 55%의 생존자는 처음 되찻거나 원래 위치에 있두거나 확보하지 않고 그들의 줄을 즉시 대피시켰다.
그래서 언제 떼 지성이 각각의 개인의 것을 넘설까? 언제 어떤것의 숫자를 추측할수 있을까? (병속에 젤리콩처럼) 집단은 항상 더 좋다. 만약 독립적인 추정치가 평균이 되었다면. 만약 집단이 문제에 대해서 논의하고 모든 사람들이 그들의 추정치를 주었다면 정확도는 더 나빠졌을 것이다. 왜냐면 사람들이 선택을 만드는데 영향을 줄수 있기 때문이다. 거기에 한개의 정확한 답이 있었을때 주류가 보통 최고이다. 이러한 것은 우리에게 배심원 시스템을 가져다 준다. 그 배심원은 평결 배심원들은 서로 독립적이지 않은 평결 평균을 전의 상황을 의논한다. 그리고 어떤이는 결정을 만들수 있게 된다. 이상적이진 않다. Fisher에 의하면 사실 완벽한 투표 시스템은 없다. 우리는 가장 단정할수 있는 방법을 선택해야만 한다. 
이글을 쓰는 저자는 네트워크의 과학에 몸담고 있다. 이것은 그 자체만으로도 큰 화제지만 Fisher는 어떻게 네트워크가 일하는지 그리고 그들의 장점을 어떻게 잡는지 (허브를 구분해내는 것처럼) 보여주는 한계를 가진다. 그는 괜찮은 일을 했다. 그러나 나는 알버트 라즐로 바라바시의 좀더 링크로 하는 실증적인 접근을 더 좋아한다. 이것은 불평등한 비교이다 링크는 네트워크에 관한 책이다. 하나의 chapter가 아닌 완벽한 무리 라는 책은 너무 광법위하게 주제를 잡아서 깊이가 없다. 그 의사를 결정하는 단원은 또한 재미있다. 하지만 전체적으로는 너무 빠르다. 결론을 이야기 하자면 나는 이 책은 별로 길게 쓸 필요가 없다고 생각한다. 이 책은 수학적인 기교도 없고 그저 개인적인 일화들이 나열되있는 복잡성에 과학과 별로 친근하지 않은 사람에게 쓰여진 맛보기일 뿐이다. 그것은 쉽게 살짝 적실수는 있지만 내가 자리에 앉았을때는 그것에 대해 잊어 버린다. 오직 어렴풋이 내가 책을 다 읽게 하려고 하는 것만이 보인다. 책은 너의 점심식사 테이블을 떠들석 하게 하는 재미있는 흥밋거리 정도의 풍요로움 정도이다. 그러나 모든 사람들이 책을 사기위해 뛰어들지 않아 보인다.


MAY CHIAO의 The perfect swarm에 대한 리뷰를 변역해 봤습니다. 이것을 연구화 할려면 확실하게 책을 읽어 봐야만 뭔가를 알수 있을거 같네요. 꾸역꾸역 번역을 해봤는데 정말 엉망 친창이네요..
영어를 정말 못한다고 생각했지만 정말 대책이 서지가 않습니다. 처음에 보고 뭔가 했더니 그냥 서평이네요..=_=;;

원문은 여기 있습니다. 
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Posted by blindfish
물리2010. 3. 6. 18:26

인간 생태학적 입장에서 접근 해본 자살

최근에 많은 사회 각계각층의 사람들이 자살을 하는 뉴스를 심심치 않게 접하게 됨니다. 물런 글을 쓰는 저조차도 사는게 팍팍한데 누군들 안그런가.. 싶기도 합니다. 과거의 농경사회에서는 모두가 비슷한 일을 하기 때문에 사람과 사람들 사이를 이해하기가 더 쉽지 않았나 싶습니다. 서로 같은 일을 하면서 비슷한 고민을 하게되고 공감도 하게 되면서 서로 연대감을 더 쌓아나가는 거죠. 그래서 시골마을이 도시보다 좀더 서로간에 더 끈끈한 정으로 묶여 있는지도 모르겠습니다. 또한 과거에는 구성원 거의 대부분이 생산활동에 참여하게 되면서 구성원이 많을수록 더 좋은 생산성을 나타내기 때문에 구성원 개개가 중요하게 여겨져서 존재의 의미가 중요하게 됬죠. 자아의 입장에서도 자신은 사회 꼭 필요한 구성원이었을 것입니다. 
아침에 집에서 나와서 떨어지는 햇살을 보면서 '봄이구나..'라고 생각할때.. 문뜩 이렇게 사는데 왜사나.. 싶은 생각이 들면서 무서운 생각들이 들었습니다. 그리고 드는 생각은 사람은 왜 자살을 할까.. 였죠.. 
익히 알려진 대로 어떤 생물도 자살을 하지 않습니다. 오로지 인간만이 자살을 합니다. 몇몇 곤충들이 전체 집단을 위해 자살을 하는 경우는 있습니다. 벌이 말벌을 방어 할때도 벌들이 말벌에 뭉치듯 달려들어서 온도를 높여서 다같이 죽는 것도 공격이자 자살이라고 볼수 있죠. 그렇게 따지면 인간의 자살은 확실히 곤충의 그것들과도 역시 다름니다. 
예전에 보았던 책중 하나인 데이비드 모리스의 인간동물원이란 책에서는 인간이 자살을 하는것은 인간 유전자가 가지고 있는 생존등에 대한 공격성이 표줄될 곳을 찻다가 사회 규범이나 법에 막혀서 발현이 안돼면 자기 자신에게 그 공격성을 표출한다고 합니다. 그것이 일종의 자해나 자살의 기본 원리라고 하네요. 어느정도 공감되는 내용이긴 한데.. 그래도 자살을 완전하게 설명하지 못하는거 같습니다. 꼭 그게 아니더라도 우울에 의해 자살하는것은 확실히 분노에 의해 자살하는것과는 뭔가 다른 이유일테니까요..
여담이 길었는데 이런 심리적인 이유들을 벗어나서 그냥 생태계적인 부분에서만 보면 동일한 두개의 그룹이 있을때 두 그룹다 어떤 위기에 봉착했다고 합시다. 이 위기는 주로 먹을것이 떨어졌다던가 상황이 안좋아졌을때를 말하겠지요? 그런상황에서 한 그룹에는 자살을 유도하는 유전자가 존재한다고 하고 또 한그룹에서는 그런 사람이 전혀 없다고 가정 합니다. 그리고 먹을것이나 에너지, 자원 같은것은 그 그룹이 취득하게 되면 모든 사람들에게 균등하게 분배된다고 가정합니다. 이런 경우엔 어떤 그룹이 갑작스런 상황 변화에서 개채수를 더 유지하면서 오래도록 살아 남을수 있을까요? 
간단하게 자살을 하게되는 유전자를 가진 집단이 더 오래도록 살아남을 것이 자명합니다. 실제로 영양분이 없는 경우에 집단은 개체를 증가시키는 생산 활동을 중단할것이고(물런 이것도 크게 맘대로 되지는 않습니다.) 그 다음에는 개채를 줄여나갈려고 노력 할것입니다. 자연적으로 개채가 줄기도 하지만 그것은 맘대로 되는게 아니기 때문에 몇몇은 인위적으로 개체가 줄어야 합니다. 이때 개체를 줄여주는 유일한 방법은 개체자체가 없어져줌으로서 자신이 속한 그룹의 유전적 정보를 보존하는 것이 가장 효율적입니다.
하지만 여전히 해결되지 않는 의문이 있습니다. 왜 동물에서는 일어나지 않고.. 인간만 그런 특성이 있는걸까요?.. 포식자가 알아서 개채수를 줄여주므로?? 그럼 인간아닌 생태계 최상층의 존재들은 왜 그런 행동을 하지 않는 걸까요? 
이에 맞추어서 시뮬레이션도 해볼려고 생각을 해봤는데.. 아직 괜찮은 아이디어나 뭔가를 할수 있을거 같은 것을 찻을수가 없었고.. 통계적 데이터도 별로 없고.. 복잡합니다.. (솔직히 연구화 할수 있는 조금의 아이디어는 있지만.. 그다지 도움은 안됌니다.. )

몇일전이었을까요.. 왜 이러고 사나 싶어. 가스를 돌려놓고 잤는데 요즘은 가스렌지가 좋아서 그런지 불이 안붙으면 가스가 나오다가 말더군요.. 자다 일어났는데 아무일도 없더라구요.. 
그냥 배가 고파서 불을 켜고 라면을 하나 끓여 먹었습니다. 꾸역꾸역 먹다보니.. 기분이 좀더 좋아지더라구요.. 
죽는건 역시나 한순간인거 같습니다. 아무리 막장이고 아무리 끝장이더라도 개체가 영양분을 흡수하니 자기 파괴적 유전자가 조금은 억눌러지면서 우울에서 벗어나네요..
가장 좋은 자살 예방법은 어쩌면 밥 잘먹는거.. 배고프면 먹는거.. 그런건지도 모르겠습니다..
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Posted by blindfish
책2010. 2. 21. 05:35

100년의 난제: 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?

막상 조금씩 포스팅 하려던 마음이 복잡해지고 마는 시간이 된다. 푸앵카레 추측에 관한 책에 대해서도 포스팅을 해야하는데 읽은 책은.. 
'100년의 난제: 푸앵카레 추측은 어떻게 풀렸을까?'라는 책이다. 저자는 가스가 마사히토라는 사람이 썼는데 내용은 오랜 난제인 푸앵카레 추측을 페렐만이 풀게되고 그 내용에 대해서 간략히 소개하는 내용이다. 푸앵카레 추측은 위상기하학 혹은 topology라고 하는 분야의 문제인데 자세한 설명은 나도 잘 모르고 하니 우선 생략한다. 내가 인상 깊었던 것은 거기에 나오는 수학자들의 삶의 모습이었다. 

책에 대한 내용은 검색해보면 정말 무수한 사람들이 리뷰를 써서 그냥 저는 제가 느끼는 부분만 글을 쓰려고 합니다. 페렐만은 필즈상과 100만 달러를 거부하고 은둔합니다. 상당히 이해하기 힘든 부분이기니 하지만 저도 이론 공부를 하고 있다보니 이런저런 부분들은 이해하게 되더라구요. 미국에 다녀온 페렐만은 사람이 확 변합니다. 책 중간에 그의 지인이 하는 말을 들어보면.
"대학원에서 함께 공부했을 때, 페렐만 선배는 밝은 성격의 보통 젊은이였습니다. 우리가 함께 파티에 가거나 새해를 축하했지요. 여기름 방학때는 콜호스(집단농장)에 근로봉사를 가기도 했습니다. 다른사람들과 다른 점은 하나도 없었습니다. 하지만 미국에서 돌아온 그는 마치 딴사람 같았습니다. 사람들과 거의 이야기도 나누지 않았습니다. 옛날처럼 말을 걸 수도 없었습니다. 우리와 차를 마시면서 토론하지도 않았고, 함께 축하하지도 않았습니다. 깜짝 놀랐습니다. 이전에는런 사람이 아니었는데.."

책에는 페렐만은 거의 아무도 만나지 않고 혼자 다니는 무슨.. 아웃사이더 느낌으로 나옴니다. 하지만 이런 형태의 사람들은 이론물리나 수학자들에게서는 간간히 볼수 있는 스타일의 사람 형태입니다. 저도 아는 선배가 입자 이론을 시작하게 되면서 부터 사람이 좀 변했다는 느낌을 지울수가 없었습니다. 전처럼 인사해도 인사도 잘 받지 않고.. 웃지도 않고.. 농담도 하지 않게 되었습니다. 
이런 공부.. 성과가 있을지 없을지도 모르고 성과가 있다고 한들 같은 일을 하는 사람들만 인정해주는 일.. 마치 현 정부에 고매한 각카께서는 돈도 안되는 일에 시간을 투자하는 잉여인간쯤이라고 생각할지도 모르는 그런 사람들일지도 모릅니다. 하지만 이성적으로 생각해봐도 꼭 필요한 사람들이죠..
학위를 받아도 취업이 보장되지 않는 학자들.. 연구를 해도 직접적인 시장성과 먼 연구들..
이런것들은 결국 이 분야를 모르는 사람들에게는 그냥 할일없는 인간들이라고 생각할지도 모름니다. 이런 것들이 자꾸 이런 공부를 하는사람들을 움추리게 합니다. 그들은 벌이도 썩 좋지 못하기 때문에 사람들은 그냥 능력없는 사람쯤이 되기 쉽습니다. 이 움추림들이 습관이 되면 페렐만 같은 성격을 가지게 되는 사람이 되는거죠. 
요즘 저도 그런 성격으로 귀결해 가고 있습니다. 누군가를 만나기도 싫고 항상 자신감도 없습니다. 그래도 페렐만은 난제를 풀기라도 했지만 책에 나온 파파키리아코풀로스란 수학자는 평생을 페렐만처럼 살았지만. 그는 끝내 푸앵카레 추측을 해결하지 못하고 생을 마감합니다.. 이런 사람은 역사속에서 지워지기도 합니다. 무슨 코메디프로에 나오는 
"일등만 기억하는 더러운 세상" 처럼 말이죠..
말이 길어졌네요. 이리저리 넉두리가 많습니다. 그래선지 이제 좀 밖에도 나가 보고 운동도하고 주말엔 서울도 더 자주 가야겠습니다. 좀더 활동적이 되봐야겠어요. 
책을 또 한권 샀습니다. 누군가를 생각하면서 산책이라 의미가 깊네요.. 그땐 좀더 성실하게 리뷰하겠습니다. 
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Posted by blindfish
일상/일기2010. 2. 21. 05:00

서른 즈음에..

어느덧 20대의 후반이 되었다. 아직 많이 어린 나이기는 하지만.. 감회가 새로운건 사실이다. 우연히 동생의 블로그에서 김광석의 목소리를 듣게 됬는데 많은것을 생각하게 했다. 나이가 먹어간다는 것은 어떤것일까? 

시간의 간극이 점점 멀어질수록.. 돈을 벌어야하는 나이일수록.. 

정말 매일매일 변해가는 나를 만난다. 

자신감도 많이 줄었고. 스스로도 많이 움추려있는거 같다. 
성취도 성장도 없이 머물러있어서 스스로가 썩어가는 것을 느낀다. 
그래.. 분명 성장하지 않는것도 아니고 성취하는게 없는것도 아니지만..
남들이 인정해주는 변화는 아니기에.. 
나만 아는 변화기에..

점점 사람들 만나는것도 싫고.. 
어디 가는것도 싫고..
새로운 사람 만나기도 싫고..
연애하기도 싫다...

종종 필즈상을 거부한 페렐만처럼.. 다른 세계의 사람이 되어버릴까 겁나기도 하고.. 
전과 다른 사람이 되버릴까 두렵기도 하다..

주말에 연구실.. 
엄재곤박사님이 시킨일도 중간에 하다 말고.. 
막연하게 글을 쓴다..
일단은 어서 완성해서 아이스버그에 올려야지..
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Posted by blindfish
일상/일기2010. 2. 13. 23:15

알리오올리오

파스타란 드라마에 나오게 되서 더 유명해진 올리오 알리오 입니다. 전부터 느끼한 크림소스나 치즈때문에 더 느끼한 토마토소스와 달리 깔끔하면서 간단해서 좋았던 올리브 오일 파스타 입니다.

나름 이리저리 굴려가며 수많은 시행착오 끝에 완성했네요..^^ 이게 한 7번째 만들어 본걸거에요~
만드는 법은 간단합니다.
1. 마늘과 청양고추를 올리브오일에 볶는다.(청양고추 많이 넣으셔야 매운맛이 나요. 전 그냥 포기하고 아예 안넣음.) 
오일은 엑스트라버진보다 낮은 등급을 써야해요. 엑스트라 버진은 너무 기름이 잘타서 부적합하고, 파스타가 다 완성되고 나서 따로 엑스타라버진을 넣어주는게 더 좋습니다.
2. 면을 올리브오일과 소금을 넣은 물에다 삶는다. 
3. 면이 거의 완전히 익었을때 건져낸다. 왜냐면 크림소스나 토마토소스는 수분이 조금 있어서 덜 익혀지는데 이건 아니더라구요. 하지만 웬만하면 크림소스나 토마토도 거의 익히는게 소스를 많이 쓰지 않고 맛있게 하는거 같아요.
4. 건져낸 면을 팬에 마늘과 합께 볶습니다. 수분이 조금 날아갔을때쯤 올리브 오일을 조금 더 넣어서 면에 입혀줍니다. 
5. 가장 중요하고 어려운 '간'입니다. 바질, 후추, 소금을 이용해서 맛있게 간을 합니다.
6, 면이 튀겨지지 않게 간간히 파스타 끓인 물을 수저로 한두스푼 넣습니다.
7. 딱딱한 치즈를 갈아서 뿌려주고 잘 섞은 후에 불을 끕니다. 
8. 적당히 괜찮다 싶을때 접시에 담고 엑스트라 버진 올리브 오일을 고르게 뿌려 줍니다. 치즈를 더 뿌려주셔도 될듯..하지만 저는 느끼한걸 싫어해서 안넣습니다.

간단하게 완성이네요. 가장 중요한건 찻째도 간 둘째도 간 셋째도 간입니다. 간이 정말 안맞아요..;;ㅠ_ㅠ;; 저는 남는 재료인 양송이 버섯을 썰어 넣었는데 이것도 좋네요. 너무 자극적이지 않은 재료를 적당히 넣는게 좋아요. 혹시 생바질 같은게 있거나 월계수잎을 넣는것도 좋은데요. 생바질은 정말 구하기 쉽지 않죠..;;

무엇보다도.. 가장 중요한건 좋은 사람들과 합께 먹는것입니다.! 혼자 만들어 먹으니 아무리 맛있게 만들어도 요리가 끝나면 먹기가 싫어지게 되더라구요. 
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Posted by blindfish
음악2010. 2. 10. 20:31

클래지 콰이의 after love


 참 좋아하는 가수 클래지 콰이 입니다.
이곡도 사람들이 모르는 클래지콰이의 명곡중 하나인데요. 
들으면 들을수록 정말 괜찮은 곡입니다.

사랑이 끝난후에 어떤것들이 기다리고 있을까요.?
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Posted by blindfish
물리2010. 2. 10. 16:33

2.2 평균장 열동역학적 지수(The mean-field thermodynamic exponents)

이 글은 Dung-Hai Lee 교수의 critical phenomena라는 책(?), 강의노트(?)를 기반으로 스터디한 글입니다.

고수님들 틀린 부분있으면 확실하게 지적해주시기 바랍니다. ('-')/

2.2절 입니다. 전 절에서 썼던 식 

<S>=\tanh\beta(h+Jz<S>) 로 시작해 보도록 하죠. 

우선 우리는 온도 T\to T_c^- 일때 m_0\to 0  즉, <S>\to 0 이므로 \beta Jz<S>도 0으로 수렴합니다. 그러면 tanh함수를 테일러 급수 전개(talyor expansion)를 할수 있습니다. 

<S>\approx\beta Jz<S>-\frac{1}{3}(\beta Jz<S>)^3+\ldots

여기서 <S>를 m_0라고 생각하고 바꿈니다. 스핀의 기대값이나 자기밀도나 같은 값이라고 이야기해도 괜찮겠죠. 여기서 m_0는 자발적 자기밀도(spontaneous magnetization)입니다. 그리고

T_c \equiv \frac{Jz}{k_B}

라고 정의 했었죠. 

\left(\beta=\frac{1}{k_B T}\right) 이구요.

Jz=k_B T_c 로 바꾸면

m_0=\frac{T_c}{T}m_0-\frac{1}{3}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3 m_0^3 + \ldots

1=\frac{T_c}{T}-\frac{1}{3}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3 m_0^2 + \mathcal{O}(m_0^4) + \ldots

의 형태가 됩니다. 여기서 m_0\approx0 이므로 4승항 이하로는 제거하도록 하죠. 그리고 나서 m_0에 대해서 정리하게 되면 

m_0=\sqrt{3\frac{T^3}{T_c^3}\left( \frac{T_c}{T} -1 \right)}

이렇게 됨니다. 우리는 T\to T_c^-일때를 이야기 했기 때문에 앞에 \frac{T^3}{T_c^3} 항은 1로 가게 되고 뒤에 괄호 안은 \frac{T_c-T}{T_c}이 됨니다. 온도가 임계온도에 가까워지는 경우 값이 0으로 수렴하게 되죠. 

t\equiv\frac{T-T_c}{T_c}  라는 값으로 1장에서 정의 했습니다. 이 양은 0이 될수록 임계온도에 온도가 가까워지게 되는 것이죠.

결론은 T\to T_c^-일때 m_0값은 0으로 수렴하게 됨니다. 온도가 임계온도에 가까워지면 자성적 성질이 완전히 사라 지게 되는것이죠. 

m_0 \sim |t|^{\frac{1}{2}}

라는 식으로 1장에서 이야기한 m_0 \sim |t|^{\beta} 에서 \beta=\frac{1}{2} 값을 가지게 됨니다. 실제 실험 값이 0.32 정도 인데요. 조금 멀어보이긴 하지만 그래도 대략적으로 조금은 가까워진거 같네요.

다음으로는 임계온도 때에서 외부 자기장 값이 존재할때의 경우를 생각해 보도록 하죠. 여기선 스핀 기대값과 자기장의 관계를 보기위해 이런 접근을 합니다.  그리고 온도가 임계온도이기 때문에 \beta를  \beta_c 라고 합니다. 

<S>=\tanh\beta_c(h+Jz<S>)

=\tanh(<S>+\beta_c h)

여기서는 h\neq0 이지만 후에 h\to0 이기 때문에 외부 자기장 h를 충분히 작다고 생각하고 문제에 접근하면 같은 방식으로 테일러 전개를 할수 있게 됨니다. 

<S>=<S>+\beta_c h-\frac{1}{3}\left(<S>+\beta_c h\right)^3+\ldots

뒤에 5승 이하를 제거 하고 정리하면

\beta_c h =\frac{1}{3}\left(<S>+\beta_c h\right)^3

3(\beta_c h)^\frac{1}{3} -\beta_c h =<S>

여기서  h\to0라고 가정 하기 때문에 1/3승인 h가 그냥 h보다 훨신 큰 영향을 끼치게 됨니다. (dominant)

<S>\sim h^\frac{1}{3}

이라는 결론이 나옴니다. 이런 경우 임계온도에서 외부 자기장의 세기에 따른 스핀의 기대값이 외부 자기장의 1/3승에 비례한다는 것을 알수 있는데요. 실제 실험값은 1/4.80이니까 대략 비슷한긴 하지만 조금 멀어 보이긴 합니다. 조금씩 평균장 이론(mean-field theory)의 한계가 보이네요.

이제 온도가 임계온도 보다 조금더 높은 부분에서의 상황을 보겠습니다. 여기서 \beta h\ll1 인 상황에서만 생각합니다.  이는 열적 현상에 비해 자기장을 지나치게 세게 가하지 않는 다는 것인데요.. 상자성도 강력한 자기장을 가하게 되면 어느정도 자성을 띄기 때문입니다. 

<S>=\tanh\beta(h+Jz<S>)

<S>=0이기 때문에 위의 식은 다시 쉽게 근사 됨니다. 

<S>\approx\beta(h+ Jz<S>)-\frac{1}{3}\left[\beta(h+ Jz<S>)\right]^3+\ldots

\beta(h+Jz<S>)\ll1 이라고 위에서 가정 했기때문에 우선 3승항 이하로는 모두 제거해 보도록 하죠. 

<S>\approx\beta(h+ Jz<S>)

자 이녀석을 잘 요리해 봅니다. 

k_B T<S>\approx(h+ Jz<S>)

k_B T<S>\approx h+ k_B T_c <S>

k_B (T-T_c)<S>\approx h

<S>\approx \frac{h}{k_B (T-T_c)}

온도과 스핀의 기대값은 임계온도보다 조금 높은 부분에서는 이러한 관계를 가집니다. 여기서 스핀의 기대값은 자화율(magnetic susceptibility)와 관계가 있습니다. 상자성을 띄는 상황에서 온도를 얼마나 높여 주느냐에 따라(외부 자기장이 있는 상황에서) 자화가 급격히 낮아지니까요. 강자성에는 스핀이 임계온도에 가까워지지 않으면 모두 한방향을 가르키기 때문에 자화율을 따지는게 의미가 없습니다. 

이 식에서는 온도와 자화율은 \chi(T)\sim T^{-1}를 띄는군요. 하지만 실제 실험값은 1.24의 지수를 가진 멱급수(pow-law)를 따름니다. 그래도 조금은 비슷하네요.

자.. 책에선 이 부분이 가장 논란이 되는 부분인데요. 다음이 1절에서 언급한 헤밀토니안입니다.  

\mathcal{H}=-J\sum_{ij}C_{i j}S_iS_j-h\sum_{i}S_i

처음에 썼던 에너지 연산자(Hamiltonian)을 수정해 줍니다. 전에는 두번 계산(double counting)이 됬덨다고 하네요.  이쪽 공부 해보신 분들은 알겠지만 실제로 각 격자자리(lattices site)들을 지나면서 계산을 하다보면 1번 위치에서 1번 스핀과 2번 스핀 사이에 관계를 계산하고 나서 다시 2번의 위치에서 1번스핀과 2번 스핀의 관계를 또 계산하게 되기때문에 그런 반복된 계산을 제거하기 위해 반으로 나누어 줍니다.

문제는 지금까지 이전의 헤밀토니안으로 이것도 하고 저것도 하면서 잘 써오다가 갑자기 이런식으로 변덕을 주는게 좀 많이 기이하지 않을수 없습니다. 

\mathcal{H}_{mf}=-\sum_i h_{eff,i}S_i + \frac{J}{2}\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j>

이전 헤밀토니안이 음의 부호가 있기 때문에 저 항을 더해주면 두번 더해준 부분을 제거 할수 있습니다. 책에서 보면은 저 부분의 항은 자화(magnetization)에는 영향을 주지 않는다고 하면서 이르 프리에너지(free energy)에 넣습니다. 이 말 부분도 석연치가 않습니다. 확실히 저 부분이 임계온도에 영향을 주기때문에.. 자화에도 어느정도 영향을 줄텐데 말이죠. 물런 임계온도와의 상대적인 값(t)만을 고려한다면 상관은 없습니다.  이제 슬슬 고통스러운 계산의 시작입니다. 

f=-\frac{k_B T}{N}\ln Z

기본적으로 자유에너지(free energy)는 위와 같이 정의 됨니다. 분배함수(partition function)을 적으면,

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace Tr[e^{-\beta\mathcal{H}_{mf}}] \rbrace

이와 같이 됨니다. 그럼 헤밀토니안을 넣고 계산을 해보죠. 

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i - \frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }\right] \rbrace

글씨가 작아져서 잘 안보이기 시작하네요. 

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} e^{- \frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }\right] \rbrace

뒤에 두번째 지수(exp)항은 앞에 S_i랑은 관계가 없으므로 로그를 이용해서 제외 시켜 줌니다.

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} \right] \rbrace -\frac{k_B T}{N}\ln e^{-\frac{J}{2}\beta\sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_i}\left[e^{\beta \sum_i h_{eff,i}S_i} \right] \rbrace + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_1}\sum_{S_2}\sum_{S_3}\ldots\sum_{S_N}\left[e^{\beta h_{eff,1}S_1}e^{\beta h_{eff,2}S_2}e^{\beta h_{eff,3}S_3}\ldots e^{\beta h_{eff,N}S_N} \right] \rbrace \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\ln\lbrace \sum_{S_1}e^{\beta h_{eff,1}S_1}\sum_{S_2}e^{\beta h_{eff,2}S_2}\sum_{S_3}e^{\beta h_{eff,3}S_3}\ldots \sum_{S_N}e^{\beta h_{eff,N}S_N} \rbrace\\ + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln \sum_{S_1}e^{\beta h_{eff,1}S_1}+\ln\sum_{S_2}e^{\beta h_{eff,2}S_2}+\ln\sum_{S_3}e^{\beta h_{eff,3}S_3}+\ldots+\ln \sum_{S_N}e^{\beta h_{eff,N}S_N}\right] \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln(e^{\beta h_{eff,1}}-e^{-\beta h_{eff,1}})+\ln(e^{\beta h_{eff,2}}-e^{-\beta h_{eff,2}} ) + \ldots +\ln(e^{\beta h_{eff,N}}-e^{-\beta h_{eff,N}})\right] \\ + \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }f_{mf}=-\frac{k_B T}{N}\left[\ln(2\cosh{\beta h_{eff,1}})+\ln(2\cosh{\beta h_{eff,2}})+ \ldots +\ln(2\cosh{\beta h_{eff,N}})\right] \\+ \frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }

f_{mf}=\frac{J}{2N} \sum_{i,j}C_{ij}<S_i><S_j> }-\frac{k_B T}{N}\sum_i\ln\left[2\cosh{\beta h_{eff,i}}\right]

으로 간단하게 정리가 되네요. 휴... 솔직히 중간에 곱기호를 써서 하면 더 편하지만 이해를 돕기위해서 펼쳤는데 앞으론 간단하게 하겠습니다. 

외부 자기장이 균일한 경우에는 전에 봤던대로 간단한 형태로 바꿀수 있습니다. 좀더 복잡한 것을 간단한 것에서 부터 잘 다룰수 있게 됨니다. 

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2\cosh{\beta \left(h+Jz<S>\right) }\right]

i 값과 관계 없이 모든 자리(site)들이 같기 때문에 같은것을 N번 더해주는 것이 되서 N은 소거 됨니다. 

T<T_c 이고 h=0일때는 전부터 언급했던것처럼 물질이 <S>=\pm m_0를 가지게 됨니다. 

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2\cosh{\beta \left(Jz<S>\right) }\right]

우선 자유 에너지의 대략적인 모습을 살펴볼 필요가 있는데요. 이를 위해 <S>이 충분히 작다고 가정하고 그때의 자유 에너지를 근사 할수 있습니다. Jz=k_B T로 바꾸고 두번째 항을 ln와 cosh항으로 테일러 급수 전개(talyor expansion)를 합니다. 그러면

\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots

\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots

이런 전개를 적용해서

f_{mf}=\frac{Jz}{2}<S>^2 -k_B T\ln\left[2 + 2\frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2!} }+\ldots\right]

 

\approx \frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\ln\left[1 + \frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2} }\right]

\approx \frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\left[\frac{\beta^2 \left(Jz<S>\right)^2}{2} -\frac{\beta^4 \left(Jz<S>\right)^4}{8} \right]

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\left[\frac{\beta^2 \left(k_B T_c<S>\right)^2}{2} -\frac{\beta^4 \left(k_B T_c<S>\right)^4}{8} \right]

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -k_B T\frac{\beta^2 k_B^2 T_c^2 <S>^2}{2} -k_B T\frac{\beta^4 k_B^4 T_c^4 <S>^4}{8}

=\frac{k_B T_c}{2}<S>^2 -k_B T\ln2 -\frac{ k_B T_c^2 <S>^2}{2T} -\frac{k_B T_c^4 <S>^4}{8T^3}

=\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)T<S>^2 -k_B T\ln2 -\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)T_c<S>^2 -\frac{k_B T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}

=-k_B T\ln2 -\frac{k_B}{2}\left(\frac{T_c}{T}\right)(T_c-T)<S>^2 -\frac{k_B T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}

=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c^4}{T^4}\right)<S>^4}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4}\rbrace

이것이 계산한 식이고.

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2+\frac{T_c}{2T}(T-T_c) <S>^2 +\frac{T}{12}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4 \rbrace

이건 책에 있는 식인데요. 확실히 계산한 식이 맞는거 같습니다. 책이 틀렸습니다. 

여기서 알수 있는것은 free energy가 우함수(even function)이라는 것입니다. 그리고 온도가 임계온도보다 낮아 지는 경우, 두번째 항이 음수가 되서 <S>\neq0 이어도 free engergy가 최소가 될수 있습니다. 임계온도가 높을때는 <S>=0 인 경우에만 에너지가 최소가 되죠. 그럼 임계온도보다 낮은 부분에서 free energy를 온도에 변화에 따라 생각해 보도록 하죠. 여기서 중요한건 온도는 임계온도 보다 낮지만 <S>\neq0 이기 때문에 온도는 임계온도에 충분히 가까워야 하겠죠?

\left. \frac{\partial{f_{mf}}}{\partial{<S>}} \right|_{<S>=m}=0

이런 조건을 만족하는 m을 찻습니다. 이것도 한번 미분한 다음에 <S>의 제곱에 대해서 정리하면 돼는데요. 이건 인내심을 가지고 풀어보도록 하죠.

\frac{\partial{f_{mf}}}{\partial{<S>}}=-k_B \lbrace 2\frac{T_c}{2T}(T_c-T) <S> +3\frac{T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 \rbrace =0

\lbrace 2\frac{T_c}{2T}(T_c-T) <S> +3\frac{T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 \rbrace =0

\frac{T_c}{T}(T_c-T) <S> +\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3 =0

\frac{T_c}{T}(T-T_c) <S> =\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^3

(T-T_c) =\frac{3T}{8}\left(\frac{T_c}{T}\right)^3<S>^2

<S>^2=\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c)

제가 계산한 식인데요. 책이랑 달라지기 시작합니다.

이것을 다시 처음 free energy식에 넣어주면은

 

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)<S>^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4<S>^4}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 +\frac{T_c}{2T}(T_c-T)\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c) +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4\left(\frac{8}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^3(T-T_c)\right)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 -(T_c-T)^2\frac{4}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2 +\frac{T}{8} \left(\frac{T_c}{T}\right)^4\frac{8^2}{9T^2}\left(\frac{T}{T_c}\right)^6(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 -(T_c-T)^2\frac{4}{3T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2 + \frac{8}{9T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 - \frac{8}{9T}\left(\frac{T}{T_c}\right)^2(T_c-T)^2}\rbrace

f_{mf}=-k_B \lbrace T\ln2 - \frac{8}{9}\left(\frac{T}{T_c^2}\right)(T_c-T)^2}\rbrace

다음과 같은 결과를 얻게 됨니다.

f_{mf}=-k_b T\ln 2 \ \ \ ; T>T_c

f_{mf}=-k_B\left[T\ln 2-\frac{8}{9}\frac{T}{T_c^2}(T-T_c)^2\right] \ \ ;\ T<T_c

책이랑 다르지만 이게 확실히 맞습니다. 

임계온도보다 온도가 높을때는 확연하게 스핀항이 없는 것이 확실하게 free energy를 낮추는 것이구요. 임계온도보다 온도가 낮을 때는 스핀의 기대값이 (자화 magnetization)이 확실하게 존재 하므로 두번째 세번째 항이 존재하게 되서 온도가 임계온도보다 낮을때 저런 관계가 존재하게 됨니다. 이 결과에서 우리는 비열(specific heat)를 알수 있게 되는데요. 

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2f}{\partial T^2} =0 \ \ ; T>T_c

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2f}{\partial T^2} =k_B\frac{T}{T_c^2}\left[\frac{9}{2}T-3T_c\right] \ \ ;T<T_c

이 부분이 책에 나와있는 식입니다. 네.. 저 식은 당연히 틀린 것입니다. 실제 계산은 다르겠죠?

C_{h=0}=-T\frac{\partial^2 f}{\partial T^2} =-T\frac{8}{9}\frac{\partial f}{\partial T} \left[k_B\frac{1}{T_c^2}(T-T_c)^2+k_B\frac{T}{T^2}2(T-T_c)\right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{2}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2T}{T_c^2} \right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{4}{T_c^2}(T-T_c)+\frac{2T}{T_c^2} \right]

=-T\frac{8}{9} k_B\left[ \frac{(6T-4T_c)}{T_c^2} \right]

=-k_B\frac{T}{T_c^2} \left[ \frac{16}{3}T-\frac{32}{9}T_c \right]

C_{h=0}=k_B\frac{T}{T_c^2} \left[ \frac{32}{9}T_c-\frac{16}{3}T \right] \ \ \ \ ;T<T_c

완성입니다. 

두번 미분하는게 좀 까다롭긴 하지만 생각 보다 어려운 것은 아닙니다. 결과값을 실험값과 비교해 보도록 하죠.  실험 값에는 

C_h \sim A_+\left(\frac{T-T_c}{T_c}\right)^{-\alpha} \ \ \ ; T>T_c

C_h \sim A_- \left(\frac{T_c-T}{T_c}\right)^{-\alpha} \ \ \ ; T<T_c

여기서 A는 그냥 실험적인 상수구요. 비교를 해보니까 비슷한거 같으면서 어떤부분은 많이 다르네요. 평균장 이론의 식만 본다면 비열은 상전이 점에서 연속적이지 않습니다. 우리가 대부분의 온도인 임계온도 위에서만이라도 맞춰본다면 \alpha=0 이라고 이야기 할수 있습니다. 실제값인 \alpha=0.11 과는 조금.. 머네요. 확실히 0과 그보다 조금이라도 큰값은 많이 다른 의미를 가지고 있는 것이니까요.

 

2.2절은 여기 까지네요. 생각 보다 책이 틀린 부분이 많네요. 이제 좀더 어려운 2.3절을 공부해보도록 합니다. !! 힘내시길~!

이 글은 스프링노트에서 작성되었습니다.

Posted by blindfish

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